Produto de tensor quântico mais próximo do produto Kronecker?
Vindo mais de um fundo de ciência da computação, eu nunca realmente estudei produtos tensores, tensores covariantes / contravariantes etc. Então, até agora, eu estava vendo a operação de "produto tensorial" principalmente como (o que parece ser) um produto Kronecker entre a representação da matriz em alguma base fixa) do meu vetor / operador linear, ou seja, se eu tiver dois vetores / matrizes
$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \vdots\end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots \\ b_{21} & b_{22} & \cdots \\ \vdots\end{pmatrix}$$
Então: $$A \otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots \\ \vdots\end{pmatrix} $$ ie $$A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{21}b_{11} & a_{21} b_{12} & \cdots & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} & \cdots \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & \cdots & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \end{pmatrix} $$
Em particular, se considerarmos $|0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ e $|1\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, então $|0\rangle \otimes |1\rangle = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$, ie $|0\rangle \otimes |1\rangle$ é um vetor.
Agora, se eu olhar para a página do produto tensor da wikipedia, eles parecem definir$v \otimes w \colon= v w^T$, ie $v \otimes w$é uma matriz (ok, a matriz é apenas uma reformulação do vetor obtido pelo produto Kronecher então ambos são isomórficos, mas em termos de "tipo" não é um pouco estranho defini-lo assim?). Mas por outro lado, quando$v$ e $w$ são matrizes, estamos de volta ao produto Kronecher.
Então aqui está minha pergunta: por que eles definem o produto tensorial assim para vetor? Existem diferentes "tipos" de tensores? Como eles se relacionam com tensores usados na física?
Respostas
O produto tensorial de dois objetos com $m$ e $n$ componentes é um objeto com $mn$componentes que consistem nos produtos emparelhados dos componentes das entradas. O produto Kronecker e o$v w^T$ produto (produto externo do vetor) são ambos produtos tensoriais por essa definição.
A razão para definir primeiro um produto tensorial por multiplicação de matriz no artigo da Wikipedia é provavelmente pedagógica: a maioria dos leitores estará familiarizada com a multiplicação de matrizes e, com esse exemplo, eles podem ter mais facilidade com o produto Kronecker.
O produto tensorial de objetos com $k$ e $\ell$ índices deveriam ter naturalmente $k+\ell$índices. O produto externo vetorial combina dois vetores de índice 1 em uma matriz de índice 2, mas o produto Kronecker tem que codificar seus índices de entrada 2 + 2 em 2 índices de saída porque as matrizes suportam apenas dois índices. Por essa razão, eu diria que o produto externo é o produto tensorial mais natural em vetores.
Na notação de tensor de índice explícito usada na relatividade geral e na física de partículas, não há operação de "multiplicação de matriz" e, em vez disso, você sempre a escreve explicitamente. Em vez de$M=NP$ você escreve $M_{ac} = \sum_b N_{ab} P_{bc}$, ou apenas $M_{ac} = N_{ab} P_{bc}$ onde a duplicação de $b$sinais de que deve ser resumido. Também não há produto Kronecker; em vez disso, você apenas generaliza o produto externo e usa$k+\ell$índices. Em vez de$|ψ'\rangle = (I\otimes H\otimes I)|ψ\rangle$ você escreveria $ψ'_{ab'c} = H_{b'b} ψ_{abc}$. Obviamente, a desvantagem desse sistema é que você precisa escrever muitos índices. (E, na computação quântica, o fato de você ser o único a usá-lo.)
Na computação quântica, calculamos o produto tensorial exatamente como você especifica. Isso inclui o caso de pegar um produto tensorial com dois vetores.
Agora, também é verdade que $|\psi\rangle\langle\phi|$ pode ser pensado como um produto tensorial entre $|\psi\rangle$ e $\langle\phi|$. Mas em QC nunca definiríamos o produto tensorial entre$|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$ para ser isso.