Propriedade da matriz positiva

Question

Deixei $A$ seja um $C^*$-álgebra e deixe $a = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix} \in M_n(A)$ser uma matriz positiva .

É verdade que se $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}$, então $$\begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}$$é um elemento positivo de$A$?

Eu tentei usar a caracterização $a= x^*x$ mas o cálculo ficou muito feio, então eu queria saber se existe uma maneira conceitual fácil de ver isso.

Answer 1

E se $a$ é um elemento positivo de $M_n(A)$, então há um $b \in M_n(A)$ com $a = b^*b$. Segue que$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} \right]^*\left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}\right]. $$ Agora escreva $$ b \pmatrix{\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n} = \pmatrix{c_1\\ \vdots \\ c_n} $$ para alguns $c_1,\dots,c_n \in A$. Do acima exposto, temos$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n}^* \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = \sum_{i=1}^n c_i^*c_i. $$ Agora, basta notar que a soma dos elementos positivos é positiva.