Propriedades básicas de objetos terminais

Question

Estou estudando o Capítulo 0 de Aluffi e acho que poderia usar algumas idéias básicas sobre objetos terminais.

Qualquer morfismo de um objeto terminal para si mesmo é a identidade . Para provar isso, basta observar que pode haver apenas um morfismo de um objeto inicial$A$a qualquer outro objeto e deve ter o mapa de identidade para si mesmo. Então se$\| \text{Hom}(A,B) \| = 1$ para qualquer objeto $B$. Em particular,$\text{Hom}(A,A)$, deve conter $\text{id}_A$, então se $\phi \in \text{Hom}(A,A)$, então $\phi$ deve ser a identidade.

Para objetos finais, a prova seria semelhante. Na prática, se eu pudesse obter uma composição de funções de um objeto inicial para si mesmo, poderia dizer que a função era a identidade, portanto, um isomorfismo, etc.

Se um objeto é isomórfico a um objeto final / inicial, ele próprio é final / inicial. Para provar isso, suponha$A$ é inicial, $\phi: A \rightarrow B$ é um isomorfismo, e $C$é outro objeto em nossa categoria. Um morfismo$A \rightarrow C$ sempre existe, então a composição $B \rightarrow A \rightarrow C$ onde está a primeira flecha $\phi^{-1}$ e a segunda seta é o morfismo dado por $A$sendo inicial, sempre existe. E se$f$foi qualquer outro morfismo$f:B \rightarrow C$, então a composição $A \rightarrow B \rightarrow C$ é um morfismo de $A \rightarrow C$ portanto, deve ser único.

Na prática, eu usaria isso para concluir que um objeto é inicial / terminal se eu pudesse encontrar um isomorfismo com outro objeto inicial / final.

Este é apenas um esboço, mas é preciso? Editado para maior clareza e detalhes de preenchimento.

Answer 1

Eu acho que o livro usa "objeto terminal" para denotar um objeto "inicial" ou "final".

Como de costume, você não precisa fazer as duas provas para objetos iniciais e finais, porque um objeto inicial em $\mathcal{C}$ é um objeto final em $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ e vice-versa.

Sua prova está correta, mas muito longa. Deixei$A$ seja um objeto inicial e deixe $f\colon A\to A$ser um morfismo. Desde a$\mathrm{id}_A$ é um morfismo com a mesma origem, a saber $A$e alvo, temos isso $f=\mathrm{id}_A$, por exclusividade.

Suponha agora que $B$ é isomorfo a um objeto inicial $A$; deixei$b\colon A\to B$ser um isomorfismo. Pegue qualquer objeto$C$ e dois morfismos $f,g\colon B\to C$. Então$fb,gb\colon A\to C$são dois morfismos, então eles são iguais. De$fb=gb$ nós obtemos $f=g$ compondo com $b^{-1}$. Isso prova exclusividade. A existência decorre do morfismo único$h\colon A\to C$, então nós temos $hb^{-1}\colon B\to C$.