Prova do teorema da não comunicação

Question

Deixar $A, B$ ser espaços de Hilbert (de dimensão finita), e $\rho$ algum estado misto de $A \otimes B$. Estou tentando mostrar que uma medição realizada no '$A$-subsistema 'não afeta $\rho^B = \text{Tr}_A(\rho)$.

Eu entendo uma 'medição realizada no $A$-subsystem 'conforme dado por algum observável $X \otimes I$, Onde $X$ é um operador auto-adjunto em $A$ que se decompõe como $X = \sum m P_m$ (Onde $P_m$ é a projeção ortogonal no $m$-eigenspace). Se esta medição resultar em resultado$m$, o estado resultante deve ser

$$\rho' = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}$$ e eu desejo ver isso $\text{Tr}_A(\rho') = \text{Tr}_A(\rho)$. Agora posso usar a ciclicidade do traço para ver que

$$\text{Tr}_A(\rho') = \frac{\text{Tr}_A((P_m \otimes I) \rho)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}$$

mas por que isso deveria ser igual a $\text{Tr}_A(\rho)$? Eu verifiquei que este é o caso se$\rho = \rho^A \otimes \rho^B$decompõe-se como um produto. E eu conheço um general$\rho$será uma combinação linear de tais casos; mas, uma vez que a igualdade desejada não é linear, não parece concluir que ela será válida (na verdade, parece indicar que não será válida). Espero que alguém possa apontar o erro em meu pensamento.

Answer 1

O que você denotou como $\rho'$ é apenas um $m$-ésimo resultado possível. Temos que escrever$$ \rho'_m = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}. $$ Agora, como Bob não sabe o valor de $m$ ele tem que assumir que o novo estado é uma mistura de $\rho'_m$ com probabilidades correspondentes $\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)$. Então, o real$\rho'$ é $$ \rho' = \sum_m \rho'_m \text{Tr}((P_m \otimes I) \rho) = \sum_m (P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I). $$ Finalmente, você pode ver que $$ \text{Tr}_A(\rho') = \sum_m \text{Tr}_A((P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)) = $$ $$ = \sum_m \text{Tr}_A(\rho (P_m \otimes I)) = \text{Tr}_A(\rho \sum_m (P_m \otimes I)) = \text{Tr}_A(\rho). $$

Answer 2

Na verdade, essa equação não é válida. Considere por exemplo$\rho = |\phi^+\rangle\langle \phi^+|$, Onde $|\phi^+\rangle = \frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$. Se Alice obtiver resultado 0, então$\rho' = |00\rangle\langle 00|$, e $\rho^B = |0\rangle\langle0|$, e se Alice obtiver o resultado 1, então $\rho' = |11\rangle\langle 11|$, e $\rho^B = |1\rangle\langle1|$. Este é o exemplo típico da não localidade do colapso da função de onda.

A afirmação do teorema da não comunicação é que, quando você calcula a média sobre os resultados de Alice, o resultado não depende de qual medição ela fez, ou mesmo se ela fez alguma medição. Vamos então$$\rho_m = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)},$$ o estado colapsado após a obtenção do resultado da medição $m$, e $$\rho^B_m = \operatorname{tr}_A (\rho_m).$$ O teorema é então que $$\sum_m p(m) \rho^B_m = \rho^B = \operatorname{tr}_A\rho,$$ para todos os projetores possíveis $P_m$, ou mesmo elementos POVM.