Prova $e^x - 1 \le e x$ para $x \in [0, 1]$

Question

Ao ler um artigo recente, descobri a desigualdade: $e^x - 1 \le e x$ para $x \in [0, 1]$.

Tentei provar isso usando (o inverso) a desigualdade de Bernoulli, ou seja, $(1 + y)^r \le 1 + ry$, para $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, por aqui . Aqui usando substituições$y = e - 1 \ge -1$ e $r = x \in [0, 1]$. Isso resultou: \ begin {align *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \ implica e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ \ iff e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \ implica e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {desde$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {align *}

2 perguntas: Primeiro, há algum problema com a prova acima? Em segundo lugar, alguém pode sugerir outra maneira de provar isso? Existem muitos lemas desse tipo usados ​​neste artigo, portanto, verifique.

Answer 1

Para qualquer $x\in[0,1]$ temos: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ Portanto, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Você pode usar Bernoulli para o seguinte. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ mas para verificar antes da desigualdade original para $x=0.$

Answer 2

Para $0\le x\le1$ temos

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

Desde a $e^t$ é uma função crescente de $t$ (e $x\le1$)

Answer 3

Aqui está uma prova usando o teorema do valor médio. A desigualdade é trivial para$x=0$. Para$0 < x \leq 1, $ definir $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ Então $f'(y) = e-e^y \geq 0$ para todos $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Pelo teorema do valor médio, há$\xi\in (0,x)$ com

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Mas então $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ e assim $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ como desejado.

Answer 4

A desigualdade talvez mais versátil sobre o exponencial é $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ para todos $t\in \Bbb R$. Para$x\ge0$ nós podemos aplicar $\int_0^x\mathrm dx$ para ambos os lados e obter $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ Disto, portanto (pelo menos por $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ Por multiplicação com $e^x$ ($>0$) e reorganizando, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Seu lema então segue de $e>\frac32$.