Prova errada usando indução matemática

Question

Eu tentei erroneamente provar a sequência $a_n=\frac{n}{2^n}$está aumentando. (É óbvio que a sequência está diminuindo, mas não percebi a princípio e estava provando que está aumentando por engano!)

Então, usei a indução matemática para provar $a_{n}\leq a_{n+1}$:

$n=1 : a_1=\frac{1}{2} \leq a_2=\frac{1}{2}$

Presumir $n=k : a_k \leq a_{k+1} $

Agora vamos provar para $n=k+1 : a_{k+1} \leq a_{k+2}$ ou $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}}$

Nós assumimos $a_k \leq a_{k+1} \rightarrow \frac{k}{2^k} \leq \frac{k+1}{2^{k+1}}$

então $k (2^{k+1}) \leq 2^k (k+1)$ multiplique ambos lado por $2$ e obtemos: $k(2^{k+2}) \leq 2^{k+1} (k+1)$ então adicione $2^{k+2}$ para os lados: $(k+1) 2^{k+2}\leq 2^{k+1}(k+3) \leq 2^{k+1}(k+2)$ Conseqüentemente: $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}} \rightarrow a_{k+1} \leq a_{k+2}$

Então eu provei a sequência $a_n$está aumentando com a indução matemática. Mas, como eu disse antes, está errado e na verdade está diminuindo. Mas por que esse método de "indução matemática" funciona perfeitamente bem aqui? Tenho certeza de que fiz exatamente as etapas para isso (primeiro provei que funciona para$n=1$ então assumiu que funciona para $n=k$ e concluir que funciona para $n=k+1$) É realmente estranho para mim ver como a indução matemática confirma que a sequência está aumentando. Estou esquecendo de algo?

Answer 1

Há um erro em seu argumento. Você escreveu:

$$2^{k+1}(k+3)\leq 2^{k+1}(k+2)$$

Isto é falso. De fato$2^{k+1}(k+2)<2^{k+1}(k+3)$. Portanto, é aqui que seu argumento indutivo falha e não prova o resultado.