Prova: não é um quadrado perfeito
Deixei $y$ser um número inteiro. Provar que
$$(2y-1)^2 -4$$
não é um quadrado perfeito.
Eu encontrei essa questão em um livro de matemática discreto e tentei resolvê-la dividindo a questão em duas partes:
$$y = 2k , y = 2k + 1$$
Mas isso não me levou a lugar nenhum.
Respostas
Por uma questão de contradição, escreva $(2y-1)^2-4=n^2$ Onde $n$é um número inteiro. Equivalentemente$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ A diferença entre os dois fatores é $2n$, ou seja, mesmo. Apenas maneiras de fatorar$4$ com fatores que diferem em número par são $(-2)\cdot(-2)$ e $2 \cdot 2$, ambos os casos são impossíveis, pois implicam $n=0$ e $(2y-1)^2=4$.
quadrados estranhos são $1 \pmod 4,$mas é mais específico do que isso. Quadrados ímpares são$1 \pmod 8.$ Você pode verificar isso quadrando, digamos, $1,3,5,7$ e encontrar o resto quando dividido por $8$. Em particular, os quadrados nunca são$5 \pmod 8.$ Seu $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ e não pode ser um quadrado
Suponha:
$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$
para alguns $a$.
Então
$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$
Você pode assumir daqui?
Pense na fatoração primária de cada lado.
Para $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ está entre quadrados consecutivos $(2y)^2$ e $(2y-1)^2$.
Para $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ é negativo, portanto não é um quadrado.
Para $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ está entre quadrados consecutivos $(2y-2)^2$ e $(2y-1)^2$.
$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ Se fosse um quadrado perfeito, seria $=c^2$, onde c é um número inteiro. Resolva para$y$ no $4(y^2-y)-3-c^2=0$ e pegue $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$.
Contudo $c^2+4$ não pode ser um quadrado, a menos $c=0$ (Onde $y$não é um número inteiro). Presumir$c^2+4=b^2$ tão $b=c+a$ com $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$. $2ac+a^2=4$não tem soluções inteiras possíveis. ($a=1$ LHS é estranho, $a\gt 1$ LHS $\gt 4$)
Portanto, nenhum inteiro possível $y$.
$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$
Observe que $2y+1$ e $2y-3$são sempre inteiros distintos. Conseqüentemente, provar que seu produto não pode ser um quadrado é conseguido mostrando que eles são coprimes (sem fatores primos em comum) e que eles não são ambos quadrados ao mesmo tempo.
$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(a última parte é trivialmente observar que um é ímpar, o outro par). Conseqüentemente$2y+1$ e $2y-3$ são coprime.
Agora observe que ambos $2y+1$ e $2y-3$ são estranhos com uma diferença de $4$. A diferença mínima entre dois quadrados ímpares é$3^2 - 1^2 = 8$. Portanto, eles não podem ser ambos quadrados.
Portanto $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ não pode ser um quadrado.
Outra prova: WLOG assume $y>0$. Observe as diferenças entre os quadrados de dois números consecutivos:$1, 3, 5, 7$, etc. Portanto, a única maneira de obter uma diferença de 4 é 2 ^ 0-0 = 1 + 3, o que é impossível porque $2y-1$ é estranho.
A diferença entre quaisquer dois quadrados $a^2$ e $b^2$ com $a^2< b^2$ é pelo menos 5 se $|b|$ é pelo menos 3.
Então, tudo o que resta é verificar diretamente $(2y-1)^2 =0,1,4$. E como$2y-1$ é estranho, apenas de fato $2y-1=1$.