Prova para $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ corrigir?

Question

Olá, estou tentando provar o seguinte: $A, B \subset \mathbb {Q}$ e $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Suponha $\max(A)$ e $\max(B)$ existe, mostra que $\max(A+B)$ também existe e isso

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

Tenho a seguinte prova, não tenho certeza se está correta:

O número real $\max(A) + \max(B) \geq x$ para todos $x \in A+B$

Desde a $\max(A) \in A$ e $\max(B) \in B$ a definição de $A+B$ este $\max(A+B) \in A+B$ detém.

Agora deixe $x \in A+B$. $\Rightarrow$ existe $a \in A$ e $b \in B$ de tal modo que $x = a+b$

De acordo com a definição de $\max$ Contudo, $\max(A) \geq a$ e $\max(B) \geq b$.

Portanto $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

Esta prova está correta?

Answer 1

Sua prova está correta, mas um pouco redundante. Você mostrou que$\max(A)+\max(B) \ge x$ para todos $x \in A+B$, e você explicou como $\max(A)+\max(B) \in A+B$. Isso é suficiente para mostrar o que precisamos, pois encontramos um limite superior para$A+B$ que também pertence a $A+B$, portanto, é o máximo.