Prova que $\mathbb{P}^1$ não é afim.

Question

Estou confuso com a última linha da prova de que $\mathbb{P}^1$ não é afim, como apresentado nas notas de geometria algébrica de Ravi Vakil.

Primeiro, ele calcula o anel de seções globais. Acontece que$\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=k$. Está tudo bem. O que me confunde é a próxima linha. Ele diz: "Se$\mathbb{P}^1$ fossem afins, então seria $\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=\operatorname{Spec}k$, ou seja, um ponto. Mas não é - tem muito sentido. "

Não sei o que fazer com essa frase. Na segunda igualdade, ele não está apenas tomando$\operatorname{Spec}$de ambos os lados da primeira igualdade? Em caso afirmativo, o que isso tem a ver com assumir$\mathbb{P}^1$é afim? Além disso, por que sabemos$\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$deve ter "muitos pontos"? Em suma, o que estou perdendo aqui?

Edit: A pergunta vinculada não responde à minha pergunta. Estou perguntando sobre uma linha específica nesta prova dada por Vakil. As questões vinculadas apenas perguntam por que $\mathbb{P}^1$não é afim em geral. Além disso, nenhuma das respostas dadas aborda minha preocupação. A resposta escolhida usa a teoria dimensional, que claramente não é o que Vakil tinha em mente, uma vez que a teoria dimensional ainda não foi discutida

Answer 1

Isso surgiu muitas vezes em math.SE. $\text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ é a afinização de $X$; é o esquema universal afim ao qual$X$ mapas, então $X$ é afim se este mapa universal $X \to \text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$é um isomorfismo. Isso decorre de propriedades gerais de adjunções; veja, por exemplo, esta resposta .

(Compare: a abelianização $G/[G, G]$ de um grupo é o grupo abeliano universal para o qual $G$ mapas, então um grupo é abeliano se o mapa universal $G \to G/[G, G]$ é um isomorfismo.)

Ravi calcula que a afinização de $\mathbb{P}^1$ é um ponto, então $\mathbb{P}^1$é afim se o mapa canônico para um ponto for um isomorfismo se for um ponto. Mas$\mathbb{P}^1$ tem $|L|+1$ pontos sobre qualquer extensão de campo $L$ do $k$ (Eu assumo $k$ é um campo de simplicidade, mas coisas semelhantes podem ser ditas em geral).