Provando que esta função é identicamente 0 [fechada]

Question

Esta pergunta foi feita em meu questionário de análise complexa e não consegui resolvê-la.

E se $\Omega= \{ z: Re(z) >0 \}$ e f é uma função holomórfica limitada em $\Omega$ com $f(n) = 0$ para todos $n \in \mathbb{N} $ então mostre isso $f(z) =0$ para todo z $\in \Omega$ .

Sinto muito, mas não serei capaz de oferecer nada tão experimental, pois não tenho a menor idéia de como abordar esse problema durante o exame e ao tentar novamente. Acredite em mim e diga qual resultado devo usar.

Obrigado!!

Answer 1

Considere a função

$$\varphi(z)=\frac{z-1}{1+z}; \varphi:\Omega\leftrightarrow \mathbb{D}$$

Definindo $g(z):=f(\varphi^{-1}(z))$, traduzimos o problema para uma função holomórfica limitada no disco unitário.

É fácil ver que os zeros de $g$ são da forma $\frac{n-1}{1+n}$. Assim, aplicando a condição de Blaschke (verhttps://en.wikipedia.org/wiki/Blaschke_product), obtemos que $g\equiv0$. Segue facilmente que$f\equiv 0$