Provando que $f$é constante em $E$

Question

Suponha que$f: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^m}$e$a \in E \subseteq \mathbb{R^n}$, Onde$E$é compacto e conexo. Suponha também que para cada$x \in E$existe um$\delta_x >0$de tal modo que$f(x)=f(y)$para todos$y \in B_{\delta_x}(x)$. Prove que$f$é constante em$E$.

A definição que meu livro fornece para ser compacto é a seguinte: O conjunto$E$é dito compacto se e somente se toda cobertura aberta de$E$tem uma subcobertura finita; isto é, se e somente se for dada qualquer cobertura aberta$\{V_α\}_{α∈A}$do$E$, existe um subconjunto finito$A_0 = \{α_1, . . . , α_N\}$do$A$de tal modo que$E \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^N V_{a_j}$.

Da mesma forma, a definição de cobertura aberta é dada como:

Uma cobertura aberta de$E$é uma coleção de conjuntos$\{V_α\}_{α∈A}$tal que cada$V_α$está aberto e$E \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A}V_{\alpha}$.

Existe alguma maneira que podemos simplesmente escolher o nosso$B_{\delta_x}$de tal forma que é uma cobertura aberta de$E$já que sabemos que$E$já é compacto para que$E \subseteq \bigcup\limits_{x\in E} B_{\delta_x}(x)$.

Se não, estou realmente confuso sobre como iniciar essa pergunta, se alguém puder me empurrar na direção certa, acho que posso resolver esse problema.

Answer 1

Na verdade, o fato de$E$é compacto não importa aqui.

Levar$a\in E$, deixar$p=f(a)$e definir$F=\{x\in E\mid f(x)=p\}=f^{-1}\bigl(\{p\}\bigr)\cap E$. Então:

• $a\in F$e, portanto,$F\ne\emptyset$;
• E se$x\in E\setminus F$, então existe um$\delta_x>0$de tal modo que$\bigl(\forall y\in B_{\delta_x}(x)\bigr):f(y)=f(x)$e, portanto,$B_{\delta_x}(x)\subset E\setminus F$; assim$E\setminus F$é um subconjunto aberto de$E$, o que significa que$F$é um subconjunto fechado de$E$;
• E se$x\in F$, então existe um$\delta_x>0$de tal modo que$\bigl(\forall y\in B_{\delta_x}(x)\bigr):f(y)=p$e, portanto,$B_{\delta_x}(x)\subset F$; assim$F$está aberto.

Desde$F$não é vazio, aberto e fechado, o fato de ser conectado implica que$F=E$. Em outras palavras,$(\forall x\in E):f(x)=p$.