Provando uma propriedade limite

Question

Quero provar a seguinte propriedade:

Deixei $(a_n),(b_n)$ sejam sequências em $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ e $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, suponha $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Em algum momento, meu script menciona que $-(a_n-a)<\epsilon $ e $b_n - b<\epsilon$

Alguém poderia me explicar a intuição por trás da etapa acima.

Desde já, obrigado.

Answer 1

Você quer provar isso, desde que a primeira sequência converta para $a$ e o segundo para $b$, segura $a\le b$.

Suponha que não, então $a>b$. Portanto$\varepsilon=(a-b)/2>0$ e podemos encontrar $n_1\ge n_0$ tal que, para $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Isso se traduz em $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ O primeiro par de desigualdades implica $-(a_n-a)<\varepsilon$. Você também pode isolar$b_n-b<\varepsilon$ e derivar uma contradição.

Por outro lado, eu simplesmente reescreveria (*) como $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ e observe que $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, então isso se torna $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ e as desigualdades centrais fornecem a contradição.