provar a continuidade de uma função

Question

Dado dois espaços topológicos $X$ e $Y$, $f:X\times Y\rightarrow \mathbb{R}$é contínuo. Então, como podemos provar$f_x:Y\rightarrow\mathbb{R}$ definido como $f_x(y)\equiv f(x,y)$ é cotínuo para $\forall x\in X$?

Para qualquer conjunto aberto $U\subset\mathbb{R}$, precisamos mostrar $f^{-1}_x(U)$ está aberto em $Y$. $f_x^{-1}(U)= \pi_Y(f^{-1}(U)\cap (\{x\}\times Y) )$, Onde $\pi_Y$é o mapa de projeção, que está aberto. Mas$(\{x\}\times Y)$ não está aberto.

Ah, $f^{-1}(U)$ está aberto em $X\times Y$, portanto, é a união de conjuntos abertos básicos, ou seja, $f^{-1}(U)=\cup_i A_i\times B_i$. Então,$\pi_Y(f^{-1}(U)\cap (\{x\}\times Y))=\cup_j B_j$ que está aberto em $Y$.

Answer 1

Consertar $x \in X$ e considere $i_x : Y \to X \times Y$ dado por $i_x(y) = (x,y)$. Então, para um conjunto aberto$U$ dentro $X \times Y$ temos $i_x^{-1}(U) = \pi_Y(U)$, que está aberto uma vez que as projeções são mapas abertos . Segue que$i_x$ é contínuo e, portanto, $f \circ i_x = f_x$ também é contínuo.