Provar: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Atualmente eu estava passando pela fórmula

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

que é, obviamente, a forma fechada do Princípio da Incerteza de Heisenberg . Mas também recebo esta fórmula

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Suponho que seja uma extensão do princípio de Heisenberg, mas não recebi essa observação no livro. Além disso, acho que talvez tenha vindo da hipótese de de Broglie e pode ser algum cálculo, mas é apenas um palpite. Portanto, por essas razões, desejo uma resposta sua e, além disso, será melhor termos alguma interpretação física desta fórmula, como temos para o princípio de Heisenberg .

Answer 1

Partindo do princípio geral de incerteza para dois operadores arbitrários$\Omega$ e $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ Onde $|\psi\rangle$ é um estado arbitrário e $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, o comutador. Nós sabemos por De Broglie que$\lambda=\frac{h}{p}$; a partir disso, calculamos o suporte de posse de$x$ e $\lambda$ como $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Agora, a regra popular de Dirac para quantização (funciona em muitos casos) é dizer que $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ então nós temos $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Conectando isso ao princípio de incerteza geral original,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ e assim $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Agora, a partir da definição de desvio padrão, sabemos que $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, então nós temos $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$porque o desvio padrão é definido positivo. Assim, denotando o valor esperado de$\Lambda$ como $\lambda$, finalmente temos $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Este princípio de incerteza é diferente do princípio de posição-momento normal; em vez de o produto das incertezas sempre ser maior que uma constante, o produto do desvio padrão de posição e comprimento de onda é maior ou igual ao valor médio do comprimento de onda dividido por$4\pi$. Assim, relaciona as incertezas na posição e no comprimento de onda ao valor médio do comprimento de onda.