Provar $\det(A+B)=\det(B)$ implica que $A = 0$

Question

primeira vez aqui. Tentei o meu melhor para traduzir a pergunta:

Mostre que a única matriz $A$ de tamanho $n\times n$ que verifica $\det(A+B)=\det(B)$, para qualquer $n\times n$ matriz $B$, é a matriz nula (a matriz cheia de zero, aqui de tamanho n).

Pensei em usar a fórmula $\det(A)$ que usa matrizes de tamanho $(n-1)$: imagem

Mas não consigo encontrar como fazê-lo funcionar. Alguma ideia ? Eu não preciso de uma prova completa, apenas o começo dela para que eu possa tentar sozinho porque estou preso

Answer 1

DICA: Deixe $v \in \mathbb{R}^n$, $v \neq 0$. Então o set$\{v\}$ pode ser estendido a uma base de $\mathbb{R}^n$. Use este fato para provar, por contradição, que$A$ não pode ter uma coluna diferente de zero.

Answer 2

Escreva $A = PJ_rQ$ Onde $P,Q$ são invertíveis e $J_r$ é a matriz diagonal com $r$ "$1$"areia $n-r$ "$0$"s na diagonal (então $r$ é a classificação de $A$) Então com$B=-PQ$, Você tem $\det(B) \neq 0$ e $$\det(A+B)= \det(P)\det(J_r - I_n) \det(Q)$$

qual é $\neq 0$ sse $r=0$. então$A$ tem classificação $0$, ie $A = 0$.