Provar que $a^3 + b^3 + 3abc > c^3$

Question

Suponha $a,b,c$são os lados de um triângulo não degenerado. Provar que$a^3 + b^3 + 3abc > c^3.$

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Eu estava pensando que essa desigualdade parecia suspeitosamente $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc,$ quais fatores como $(a + b + c) (a^2 - a b + b^2 - a c - b c + c^2).$No entanto, tenho pouca ou nenhuma ideia de como fazer isso. Alguém pode me dar uma dica?

Answer 1

Por sua dica, precisamos provar que: $$(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)>0.$$ Você pode terminar agora?

$$a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc=b(b+c-a)+a^2+c^2+ac>0.$$