Provar que $e^n\bmod 1$ é denso em $[0,1]$

Question

Acabei de perceber que deixei sem resposta uma parte de uma velha pergunta com várias partes e decidi perguntar novamente separadamente:

Considere a sequência $e^n\bmod 1$, $n\in\Bbb N$. Mostre que é denso em$[0,1]$.

Aparentemente, isso requer propriedades específicas (de aproximação?) De $e$, como por exemplo substituir $e$com qualquer número inteiro leva a uma sequência não densa. Por outro lado, para cada sequência de números$a_n\in(0,1)$, não é difícil encontrar $\alpha$ de tal modo que $|\alpha^{2^n}\bmod 1- a_n|<\frac1n$ para todos $n$, ou $\beta$ de tal modo que $|\beta^n\bmod 1-a_n|<\frac1{1000}$. Portanto, existem bases (irracionais) que levam a uma sequência densa e outras que levam a uma sequência não densa. Fora isso, estou um pouco em um beco sem saída.

Answer 1

Pediram-me para transformar um comentário em uma resposta, embora fosse principalmente uma citação, não um trabalho meu. É bem sabido que as partes fracionárias$\{\theta^n\}$ não são apenas densos, mas uniformemente distribuídos para quase todos $\theta$. A ironia é que, para qualquer indivíduo$\theta$, não sabemos tanto. Vamos citarhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B34/pdf/B34_009.pdf

Por exemplo, não podemos contestar que $\displaystyle \lim\{e^{n}\}=0$,Onde $\{x\}$ é a parte fracionária de um número real $x$. No caso de$\alpha$ é um número transcendental, geralmente é difícil provar que a sequência $\{\alpha^{n}\}(n=0,1, \ldots)$ tem dois pontos limites distintos.

Portanto, há pouca esperança em relação aos números transcendentais como $e$, e os resultados para algébrico $\theta$não são exatamente incompreensíveis. Só podemos esperar que haja algum progresso em breve.