Provar que $f$ é a função idêntica a zero.
Deixar $f : [0,1] \times [0,1] \longrightarrow [0,\infty)$ser uma função contínua. Suponha que$$\int_{0}^{1} \left ( \int_{0}^{1} f(x,y)\ dy \right ) dx = 0.$$ Provar que $f$ é a função idêntica a zero.
Minha tentativa $:$ $f$ é uma função mensurável não negativa em $[0,1] \times [0,1].$ Então, pelo teorema de Tonelli, temos $$\iint_{[0,1] \times [0,1]} f(x,y)\ dx\ dy = \int_{0}^{1} \left ( \int_{0}^{1} f(x,y)\ dy \right ) dx = 0.$$ Então, se existe $\textbf {x}_0= (x_0,y_0) \in [0,1] \times [0,1]$ de tal modo que $f(\textbf {x}_0) > 0,$ pela continuidade de $f$ no $\textbf {x}_0$ existe uma bola aberta $B( \textbf {x}_0, \delta)$ de algum raio $\delta > 0$ em torno da $\textbf {x}_0$ com $B(\textbf {x}_0, \delta) \subseteq [0,1] \times [0,1]$ tal que para qualquer $\textbf {x} = (x,y) \in B(\textbf {x}_0, \delta)$ temos $$f(\textbf {x}) \gt \frac {f(\textbf{x}_0)} {2 \pi {\delta}^2}.$$ Desde a $f$ é uma função não negativa, então devemos ter $$\frac {f(\textbf {x}_0 )} {2} \lt \iint_{B(\textbf {x}_0, \delta)} f(x,y)\ dx\ dy \leq \iint_{[0,1] \times [0,1]} f(x,y)\ dx\ dy = 0$$uma contradição. Isto mostra que$f \equiv 0$ sobre $[0,1] \times [0,1].$
Alguém pode verificar minha prova para saber se ela é válida ou não? Desde já, obrigado.
Respostas
Dois problemas com sua prova:
- Se $\frac{f(x_0)}{2} < f(x)$ sobre $B(x_0,\delta)$, então isso não significa que $\iint_{B(x_0,\delta)} f(x,y)dxdy > \frac{f(x_0)}{2}$ porque a medida de $B(x_0,\delta)$ poderia ser muito menor do que $1$. Por exemplo: a função$f(x) =2$ é maior do que $1$, mas $\int_0^{0.01} f(x)dx = 0.02 < 1$.
A verdade é que $\iint_{B(x_0,\delta)} f(x,y)dxdy > \color{blue}{m(B(x_0,\delta))}\frac{f(x_0)}{2}$ Onde $m(\cdot)$denota a medida de Lebesgue do conjunto dado. Uma vez que este conjunto definitivamente tem medida Lebesgue diferente de zero, sabemos que a afirmação acima ainda é significativa: quando isso é continuado com as afirmações que você apresenta, as coisas parecem bem:$$ 0 < \frac{f(x_0)}{2} < \iint_{B(x_0,\delta)} f(x,y)dxdy < \iint_{[0,1]^2} f(x,y)dxdy = 0 $$
Contradição.
- Há um segundo problema: $[0,1]^2$não está aberto, então se o acima$x_0$ está na fronteira de $[0,1]^2$ (dizer $x_0 = (0,0)$ por exemplo), então temos o problema de $B(x_0,\delta)$ fica do lado de fora $[0,1]^2$ para qualquer $\delta$, e a integral sobre essa bola é indefinida porque $f$ é indefinido lá.
Para contornar isso é simples: basta pegar $S=B(x_0,\delta) \cap [0,1]^2$. Tudo que você precisa fazer é substituir a bola por$S$. Mas você precisa ter certeza$S$ tem medida diferente de zero: tenho certeza que você pode fazer isso, tome isso como um exercício (dica: tente encontrar uma bola contida em $S$) Claro, então só temos:$$ 0 < \frac{f(x_0)}{2} < \iint_{B(x_0,\delta) \cap [0,1]^2} f(x,y)dxdy < \iint_{[0,1]^2} f(x,y)dxdy = 0 $$
Após as edições do OP, o primeiro problema foi resolvido tomando $f(x_0)\over 2 \pi \delta^2$ em vez de $\frac{f(x_0)}{2}$, que então se multiplica com $\pi \delta^2 = m(B(x_0,\delta))$ para tornar nulo o primeiro problema de OP.