Provar que $\mathscr{F}$ é $\|.\|_\infty$-densa em $C[a,b]$.

Question

Deixei $\{t_0,t_1,...,t_n\}\subset [a,b]$ e $\mathscr{F}=\{q\in\mathscr{P}:q'(t_0)=q'(t_1)=...=q'(t_n)=0\}$, Onde $\mathscr{P}$é o conjunto de polinômios. Provar que$\mathscr{F}$ é $\|.\|_\infty$-densa em $C[a,b]$.

Minha tentativa:

Eu tenho que provar isso $\forall p\in C[a,b]$, $p\in \mathscr{F}$ ou $p\in \text{lim}_{n\rightarrow \infty}p_n\in\mathscr{F}, \forall n\in \mathbb{N}$.

Deixei $p\in C[a,b]$. O teorema de Stone-Weierstrass nos diz que$\exists$ um polinômio $q^*$ de tal modo que $\forall t\in\{t_0, t_1, ...,t_n\}$, temos $|p(t)-q^*(t)|<\epsilon$. Então$p\in\mathscr{F}$.

Alguma sugestão para provar $p\in \text{lim}_{n\rightarrow \infty}p_n\in\mathscr{F} \forall, n\in \mathbb{N}$ seria ótimo!

Answer 1

De acordo com o teorema geral de Stone-Weierstraß, você só precisa mostrar que $\mathscr{F}$ contém as funções constantes (triviais), é uma subálgebra (fácil de verificar) e que separa pontos, ou seja, para cada $x \neq y \in [a,b]$ há algum $p\in \mathscr{F}$ de tal modo que $p(x) \neq p(y)$. Acho que algum teorema de interpolação poderia ajudar nisso.