Prove a equação em números complexos

Question

Prove isso para todos $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq 0}$ a seguinte equação é satisfeita: $$ \sqrt z=\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|} $$

Aqui está o que eu tenho até agora: $$ \sqrt z \cdot ||z|+z|=\sqrt{|z|}\cdot(|z|+z) $$

Agora eu ajusto os dois lados: $$ z \cdot (|z|+z)^2=|z|\cdot(|z|+z)^2 $$ Portanto: $$ z=|z| $$ O que obviamente não é verdade para todos $z$ do conjunto fornecido.

Como provar isso corretamente? Onde eu cometi o erro?

Answer 1

Nós escrevemos $z$ Como $z=R\cdot e^{ix}, R\neq 0$ então $\vert z\vert = R$ e $\overline{z} = \overline{R\cdot e^{ix}}=R\cdot e^{-ix}$ e observe que $\vert z\vert =\sqrt{z\cdot \overline{z}}$ . Começando do $RHS$: $$\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}=\sqrt{R}\frac{R+R\cdot e^{ix}}{R\cdot|1+e^{ix}|}=\sqrt{R}\frac{1+\cdot e^{ix}}{\sqrt{\left(1+e^{ix}\right)\left(1+e^{-ix}\right)}}=\sqrt{R\cdot \frac{1+e^{ix}}{1+e^{-ix}}}=\sqrt z$$

Answer 2

Desde a $z\in\Bbb C\setminus\Bbb R_{\le0}$, em particular $z\neq0$ então sua equação é igual $$ \sqrt{\frac{z}{|z|}}=\frac{|z|+z}{||z|+z|}\;. $$

Escreva agora $z$ na forma polar $$ z=re^{i\theta} $$ e substituí-lo na equação anterior levará a \begin{align*} e^{i\left(\frac{\theta}2+k\pi\right)} =\frac{r(1+e^{i\theta})}{|r(1+e^{i\theta})|} =\frac{1+e^{i\theta}}{|1+e^{i\theta}|}\;, \end{align*}

para $k=0,1$ de acordo com a escolha do ramo da raiz quadrada.

Você pode continuar a partir daqui?

Answer 3

E se $|z|+z\not=0$ (ou seja, se $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$), então

$$\left(\sqrt{|z|}{|z|+z\over||z|+z|}\right)^2=|z|{(|z|+z)(|z|+z)\over(|z|+z)(|z|+\overline{z})}={|z|^2+z|z|\over|z|+\overline{z}}={z\overline{z}+z|z|\over|z|+\overline{z}}=z$$

Observando também que $|z|\gt|\Re(z)|$ (a parte real de $z$) E se $z\not\in\mathbb{R}$, de modo a $\Re(|z|+z)\gt0$ E se $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$, segue que

$$\sqrt{|z|}{|z|+z\over||z|+z|}=\sqrt z$$

com a convenção de definição de função que $\Re(\sqrt z)\gt0$ para $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$. (Observe, isso está de acordo com$\sqrt{e^{i\theta}}=e^{i\theta/2}$ usando a convenção $-\pi\lt\theta\le\pi$, não a convenção $0\le\theta\lt2\pi$.)

Answer 4

Vou mostrar a intuição geométrica por trás dessa igualdade. Para mostrar a igualdade de dois números complexos, pode-se igualmente mostrar a igualdade de seus (1) módulos e (2) argumentos . Deixei$z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq 0}$ de tal modo que $z=re^{i\phi}$.

(1) Igualdade de módulos:$$|\sqrt{z}|=\left| \sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}\right| $$ $$\sqrt{|z|}= \sqrt{|z|}\frac{\left||z|+z\right|}{||z|+z|}$$ $$\checkmark$$ (2) Devido a (1) wlog let$|z|=1$. Vamos verificar a igualdade dos argumentos:$$\text{Arg} \sqrt{z}=\text{Arg} \sqrt{e^{i\phi}}=\text{Arg}e^{i\frac{\phi}{2} }=\frac{\phi}{2}$$ $$\text{Arg}\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}=\text{Arg}(1+e^{i\phi})$$ igualdade $\text{Arg}(1+e^{i\phi})=\frac{\phi}{2}$mostra o desenho: