Prove que A é matriz nula

Question

Deixar$A$feijão$n×n $matriz complexa tal que as três matrizes$A+I$,$A^2+I $,$ A^3+I$são todos unitários. Prove que$ A$é a matriz zero

Eu tento mostrar isso

$Trace( A^{\theta}A) =0$Onde$A^{\theta }$é a transposição conjugada da matriz$A$

$\because $ $Trace( A^{\theta}A)$=$|a_{11}|^2 + |a_{12}|^2....|a_{nn}|^2$

$A+I$é unitário, então

$(A+I)^{\theta}(A+I)= I $

$\implies (A^ {\theta}+I)(A +I) =I $

$A^ {\theta}A+ A^ {\theta}+A = 0$

$ Trace( A^{\theta}A)= -( Trace( A^{\theta}+A))$ $ \implies Trace( A^{\theta}A)=-2$(soma das partes reais de cada entrada diagonal de A

Não sei como prosseguir Por favor me ajude

Answer 1

Observe que os autovalores de$A^k + I$são da forma$\lambda^k + 1$para todos os autovalores$\lambda$de$A$. Por outro lado, os autovalores de uma matriz unitária devem ter valor absoluto$1$. Assim, cada autovalor$\lambda$de$A$satisfaz$|\lambda^k + 1| = 1$por$k = 1,2,3$.

Eu afirmo que o único$\lambda$para o qual isso vale é$\lambda = 0$. Por isso,$A$tem$0$como seu único autovalor.

Por outro lado, porque$A + I$é unitário,$A^\theta A$é normal (em particular, descobrimos que$A^\theta A = AA^\theta = -A - A^\theta$). Pelo teorema espectral ,$A$é unitariamente diagonalizável. Porque$A$é diagonalizável com$0$como seu único autovalor,$A = 0$.

Answer 2

Desde a$A+I$é unitário,$A$é normal. Assim, é suficiente provar que o único autovalor de$A$é$0$.

Desde a$A+I$é unitário, um autovalor de$A$deve ser da forma$z-1$Onde$|z|=1$. Os autovalores correspondentes de$A^2+I$e$A^3+I$São então$(z-1)^2+1$e$(z-1)^3+1$. Pode-se ver que a única$z$com$|z|=1$e$|(z-1)^3+1|=1$é$1$.