Qual é a classificação de um vetor?

Question

Da álgebra linear, sabemos que a classificação de uma matriz é o número máximo de colunas ou linhas linearmente independentes em uma matriz. Assim, para uma matriz , a classificação pode ser determinada por redução de linha simples, determinante, etc. No entanto, estou me perguntando como o conceito de uma classificação se aplica a um único vetor, ou seja,$\mathbf{v} = [a, \ b, \ c]^{\top}$. Minha intuição sugere que a classificação deve ser igual a 1, mas nem tenho certeza se é definida para um vetor. Alguém pode ajudar a lançar alguma luz sobre esse problema?

Desde já, obrigado.

Answer 1

Um vetor é um elemento em um espaço vetorial. Como tal, não tem classificação. Uma matriz, no contexto da álgebra linear, é interessante porque representa uma transformação linear entre espaços vetoriais. É com a transformação linear que nos preocupamos, não com o retângulo de números que chamamos de matriz. Uma transformação linear tem um posto e esse posto é a dimensão da imagem da transformação linear. É um conceito interessante, pois é uma medida de quão grande é a transformação linear. Acontece que, quando a transformação linear é representada como uma matriz, a classificação pode ser calculada de várias maneiras convenientes.

Com isso em mente, a semelhança superficial de um vetor com uma matriz é enganosa. Um vetor não é uma representação de uma transformação linear entre espaços vetoriais. Por esse motivo, simplesmente não faz sentido perguntar qual é a classificação de um vetor.

Answer 2

Outra definição de classificação de uma matriz é a dimensão do espaço vetorial abrangido por sua coluna, portanto, qualquer vetor diferente de zero abrange um espaço de dimensão 1.