Qual é a distribuição do ativo sem risco?

Question

Se o ativo livre de risco tiver uma volatilidade de $0$, portanto, tornando sua média igual à taxa livre de risco, $r_f$, isso significa que não tem distribuição de probabilidade e, portanto, não há razão para modelá-lo parametricamente (ou seja, com $\mathcal{N}(\cdot)$ ou outro)?

Como essa situação muda quando deixamos de lado a suposição usual de uma constante $r_f$, visto que, empiricamente, os bancos centrais realmente o tornam variável no tempo?

Answer 1

A maneira padrão de pensar sobre isso é que no momento $t$ o ativo sem risco dá retorno conhecido de $r_{f,t}$em um curto período de tempo. No entanto, essa taxa pode variar no tempo e ser estocástica, de modo que não sabemos seus valores futuros, digamos$r_{f,t+s}$. Por exemplo. uma suposição comum é que a taxa segue um processo de Ornstein Uhlenbeck (implicando que a distribuição condicional é normal).

No caso de você assumir que $r_{f,t}$ é realmente constante, digamos $c$, ainda tem uma distribuição de probabilidade. Aqui você precisa definir$r_{f,t}$ como uma variável aleatória que assume o valor $c$para todos os resultados do espaço amostral. Naturalmente, a distribuição de$r_{f,t}$ é então tal que toda a probabilidade de massa encontra-se neste único ponto: $P(r_{f,t}=c)=1$.

Answer 2

Apenas para adicionar à resposta anterior, um exemplo de tal ativo (retornando 'taxa livre de risco') é uma conta do mercado monetário (ou banco), mas é apenas localmente livre de risco , com valor acumulando continuamente no mercado livre de risco taxa prevalecente no mercado a cada instante. É isento de riscos apenas por um curto período de tempo . No longo prazo, também é estocástico. Seu SDE é:

$$ dB_t =r_t B_t \; dt, \; B_0 =1, $$ ou equivalente, $$ B_t = \exp \left( \int_0^t r_u\; du \right), $$

Onde $r_t$é um processo estocástico progressivamente mensurável com caminhos localmente integráveis, tornando$B_t$um processo de variação finito com variação quadrática nula . Intuitivamente, isso significa que possui um menor grau de aleatoriedade em relação aos demais ativos de risco. (Na precificação de opções de câmbio ou ações, com base nessa intuição, pode-se até mesmo assumir a taxa de juros determinística dependente do tempo .)