Qual é a utilidade da fórmula de probabilidade condicional?

Question

Primeiro temos que a probabilidade de $A$ ocorrendo dado que $B$ ocorre é: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ mas se os eventos forem independentes, isso seria simplesmente igual $P(A)$então qual é a utilidade desta fórmula? onde precisamos disso? E eu não consigo entender toda a fórmula se os eventos são dependentes, então eu realmente não consigo entender. (o professor não mencionou nada sobre com que tipo de eventos isso é usado)

Answer 1

Você está correto, se $A$ e $B$ são independentes, então $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ e toda a expressão não é muito esclarecedora.

Mas quando $A$ e $B$são dependentes , este resultado torna-se muito significativo. Por exemplo, considere este problema: Com a probabilidade de$1/3$, exatamente um dos oito envelopes de aparência idêntica contém uma conta (questão de probabilidade condicional) ou o famoso quebra-cabeça Monty Hall .

Answer 2

Você pode usar a fórmula sempre que quiser. Se os eventos forem independentes, você terá

$$\mathbb{P}[A|B]=\frac{\mathbb{P}[A]\times \mathbb{P}[B]}{\mathbb{P}[B]}=\mathbb{P}[A]$$

Então você usou a mesma fórmula ... mas com um resultado simplificado