Qual é o nome desta quantidade?

Question

Dados dois vetores $X$ e $Y$ (comprimento $n$, amostrado de variáveis ​​aleatórias), qual é o nome da seguinte quantidade:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

Eu 'vim' com a fórmula para quantificar a variância entre dois vetores e acho que a fórmula ou é um absurdo, ou se não - dada sua trivialidade - uma quantidade bem conhecida. Eu sei que não é a covariância entre$X$ e $Y$, mas o que é isso?

Editar: obviamente, no contexto de previsões com, por exemplo, dados $X$ e previsão $Y$, isso corresponderia ao erro quadrático médio (exceto para a constante de normalização que seria $\frac{1}{n}$) Eu me pergunto se isso tem um nome (e um significado) no contexto das estatísticas. ver o comentário de Stephan Kolassa

Answer 1

Esta é uma medida de dispersão quadrada entre dois conjuntos de valores, mas não entre valores emparelhados. Duvido que tenha um nome.

Na verdade, você não precisa ter o mesmo número de $x$ e $y$ valores, e usando o $\frac1n$ cálculo da variância, você pode dizer:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

portanto, uma combinação da distância quadrada entre os centros dos dois conjuntos mais as dispersões quadradas dos conjuntos individuais.