Quando é $3 x^2 + 2 x$ um quadrado

Question

Deixei $x, y$ser um número inteiro positivo. Eu quero saber quando$3 x^2 + 2 x = y^2$ tem uma solução.

Por meio de alguma enumeração de todos $x$e por tentativa e erro, encontrei a seguinte recursão que parece incluir todas as soluções:

As condições iniciais são:

$$\begin{array}{l} x_0 = 0, x_1 = 2\\ y_0 = 0, y_1 = 4 \end{array}$$

A recursão é:

$$\begin{array}{l} x_n = 8 y_{n - 1} + x_{n - 2}\\ y_n = 14 y_{n - 1} - y_{n - 2} \end{array}$$

Isso parece ser semelhante à equação de Pell, e aqui parece que $x / y$ é alguma aproximação de fração contínua para $1 / \sqrt{3}$.

Não tenho certeza de como encontrar todas as soluções matematicamente, porém, e vejo que isso realmente produz todas as soluções.

Answer 1

Multiplicar por $3$ para obter $9x^2+6x=3y^2$, adicionar $1$ para obter $(3x+1)^2=3y^2+1$, então definindo $z=3x+1$ você pega $z^2-3y^2=1$, uma equação de Pell.

Alternativa que você pode resolver para $x$ para obter $\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3y^2+1}}{3}$, então você precisa $3y^2+1$ ser um quadrado, $3y^2+1=z^2$.