Quando um funcional normal é restrito a uma subálgebra de vn Neumann

Question

Eu já fiz esta pergunta e nenhum comentário (s) recebido até agora. Estou tão curioso para obter feedback sobre o problema.

Deixar$M$seja uma subálgebra de vn Neumann em$B(H)$. Deixar$f$e$g$ser funcionais normais em$B(H)$e$M$respectivamente. Suponha que$f_{|_{M}}=g$ou seja, a restrição de$f$para$M$é apenas$g$.

Vamos definir o funcional linear positivo$\phi:M\to \mathbb{C}$dado por$\phi(x)=|f|(x)$, Onde$|f|$é o valor absoluto do funcional normal$f$.

P. Podemos concluir (em geral) que$|g|\leq \phi$?

Answer 1

Não, tal propriedade não é válida. Por exemplo, você poderia tomar$H = \mathbb{C}^2$e$M \cong \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$a subálgebra de matrizes diagonais em$B(H)$. Denotação por$E : M_2(\mathbb{C}) = B(H) \rightarrow \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$a expectativa condicional dada pela restrição de uma matriz à sua diagonal, você está perguntando se a desigualdade do operador$|E(A)| \leq E(|A|)$vale para todas as matrizes$A \in M_2(\mathbb{C})$, Onde$|B| = (B^*B)^{1/2}$. Isso falha, por exemplo, para$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ 0 & 0\end{pmatrix} \; .$$