Quando um topos satisfaz o axioma da regularidade?
Na teoria dos conjuntos categóricos, observamos que certos topoi satisfazem (versões adequadas de) certos axiomas da teoria dos conjuntos. Por exemplo, Lawvere's$\mathsf{ETCS}$ afirma que $\mathbf{Set}$ é um topos bem pontiagudo com um objeto de números naturais, satisfazendo o axioma (interno) de escolha. $\mathsf{ETCS}$ é conhecido por ser equivalente a $\mathsf{BZC}$, um fragmento de $\mathsf{ZFC}$que não inclui regularidade.
Minha pergunta é: o que é necessário para um topos satisfazer (uma versão adequadamente formulada de) o axioma da regularidade? Ou talvez alguma afirmação equivalente (na presença do outro$\mathsf{ZFC}$ axiomas), como eu entendo a regularidade não é intuicionisticamente aceitável.
Respostas
A relação entre toposes e teorias de conjuntos foi estudada de forma abrangente em
Steve Awodey, Carsten Butz, Alex Simpson, Thomas Streicher: Relacionando teorias de conjuntos de primeira ordem, toposes e categorias de classes . Annals of Pure and Applied Logic, Volume 165, Edição 2, fevereiro de 2014, Páginas 428-502
A regularidade é discutida sob o nome de "fundamentos". Você pode encontrar muitos detalhes no papel, vou apenas revisar rapidamente a configuração.
Trabalhamos em um topos elementar $\mathcal{E}$.
O primeiro passo é criar uma noção de $\in$-Filiação. Defina um gráfico de associação como um triplo$G = (|G|, A_G, r_G)$ Onde $|G|$ a $A_G$ são objetos e $r_G : |G| \to A_G + P|G|$um morfismo. Nós pensamos em$|G|$ como um conjunto de vértices com cada vértice $x \in |G|$ sendo um átomo $a$ (em caso $r(x) = \mathrm{inl}(a)$ para $a : A_G$) ou um vértice de ramificação com conjunto de adjacência $d \subseteq |G|$ (em caso $r(x) = \mathrm{inr}(d)$ para $d : P|G|$) Podemos definir uma relação de bissimilaridade$\sim_{G,H}$ entre dois gráficos de adesão expressando o fato de que, até a reordenação e repetição, $G$ e $H$ representam o mesmo $\in$-estrutura de associação. Em outras palavras,$\sim_{G,H}$ expressa igualdade extensional de conjuntos representados por $G$ e $H$. Em particular,$\sim_{G,G}$ é uma relação de equivalência que divide o gráfico de pertinência para fornecer uma relação de pertinência extensional.
Em seguida, definimos um novo topos $\mathcal{E}_\mathrm{nwf}$ cujos objetos são triplos $(D, m, G)$ Onde $G$ é um gráfico de associação em $\mathcal{E}$, $D$ um objeto de $\mathcal{E}$, e $m : D \to |G|$ um mono em $\mathcal{E}$. Uma noção adequada de morfismo é elaborada levando em consideração as relações de bissimilaridade.$\sim_{G,H}$. Então temos:
Teorema 11.7: $\mathcal{E}_\mathrm{nwf}$ é equivalente a $\mathcal{E}$.
Podemos entender o teorema como dizendo que enriquecemos o topos $\mathcal{E}$ com relações de sócios para obter $\mathcal{E}_\mathrm{nwf}$, que mudou o topos apenas até a equivalência (portanto, não de forma essencial do ponto de vista da teoria do topos).
Até agora, permitimos átomos e relações de associação não bem fundadas. A próxima etapa é definir o que significa para um gráfico de associação$G = (|G|, A_G, r_G)$para ser bem fundamentado. Aqui não há surpresas, pois podemos usar a linguagem interna do topos para afirmar quando$X : P|G|$ satisfaz a propriedade "$X$ contém todos os átomos $A_G$ e é hereditariamente fechado pela relação de adesão $r_G$"(veja a fórmula após o Corolário 11.2).
Nós definimos um terceiro topos $\mathcal{E}_\mathrm{wf}$ como a subcategoria completa de $\mathcal{E}_\mathrm{nwf}$ desses objetos cujos gráficos de associação são bem fundamentados.
Proposição 11.3: A equivalência entre$\mathcal{E}$ e $\mathcal{E}_\mathrm{nwf}$ reduz a uma equivalência entre $\mathcal{E}$ e $\mathcal{E}_\mathrm{wf}$.
A moral da história é que, em primeiro lugar, podemos definir uma noção de relação de pertinência extensional em objetos em um topos e, em segundo lugar, que restringir à parte bem fundamentada do topos não altera o topos de uma forma que seja relevante à teoria do topos.
Em certo sentido, a resposta à pergunta "quando um topos satisfaz o axioma da regularidade" é "não importa". Isso é discutido mais detalhadamente no artigo na Seção 11.4, onde os autores concluem com
... segue-se que qualquer topos pode ser interpretado tanto como um modelo de BIZFA− e como um modelo de BINWFA−.
Aqui BIZFA- é sua formulação da teoria dos conjuntos semelhante a ZF com fundação (regularidade) e BIZWFA- uma formulação da teoria dos conjuntos semelhante a ZF com anti-fundação.
Isenção de responsabilidade: por favor, não tome o resumo acima como uma descrição satisfatória. O documento contém muito mais detalhes e explicações e deve ser consultado para uma compreensão completa do tópico.