Que mapa linear é necessário para agir em um estado máximo emaranhado?

Question

Eu estava lendo um livro didático e me deparei com essa pergunta. Eu queria saber por que não consideramos$M^\dagger$ em vez de $M^{T}$, então eu não mostrei essa relação, você poderia me ajudar a mostrar a relação abaixo?

Deixei $M: \mathcal{H}^{\tilde{A}} \rightarrow \mathcal{H}^{B}$ ser um mapa linear e denotar seu mapa de transposição por $M^{T}: \mathcal{H}^{\tilde{B}} \rightarrow \mathcal{H}^{A}$. Mostra isso$$ I \otimes M\left|\phi_{+}^{A \tilde{A}}\right\rangle=M^{T} \otimes I\left|\phi_{+}^{\tilde{B} B}\right\rangle $$ Onde $\left|\phi_{+}^{\tilde{A} A}\right\rangle:=\sum_{y=1}^{|A|}|y y\rangle^{\tilde{A} A}$ e $\left|\phi_{+}^{\tilde{B} B}\right\rangle:=\sum_{y=1}^{|B|}|y y\rangle^{\tilde{B} B}$ e esses são estados emaranhados ao máximo.

Answer 1

Ambos os estados vivem em $ H_A \otimes H_B $. Vamos calcular seu produto interno com os estados de base$ |i \rangle_A | j \rangle_B $e mostrar que eles são iguais. De fato:

• $$ \big(I \otimes M\big) |\phi_+^{AA} \rangle = \sum_{y=1}^{|A|} |y \rangle_A M|y\rangle_A \implies \\ \langle i|_A \langle j|_B \big(I \otimes M\big) |\phi_+^{AA} \rangle = \sum_{y=1}^{|A|}\langle i|y \rangle_A \langle j|_BM|y\rangle_A = \langle j|_BM|i\rangle_A = M_{ji} $$

• $$ \big(M^T \otimes I\big) |\phi_+^{BB} \rangle = \sum_{y=1}^{|B|} M^T|y \rangle_B |y\rangle_B \implies \\ \langle i|_A \langle j|_B \big(M^T \otimes I\big) |\phi_+^{BB} \rangle = \sum_{y=1}^{|B|}\langle i|_A M^T |y\rangle_B \langle j|y \rangle_B = \langle i|_A M^T |j\rangle_B = \big(M^T\big)_{ij} = M_{ji} $$