Questão de Combinatória do SUMaC 2020

Question

As pirâmides são coloridas de acordo com as seguintes regras: (1) Cada bloco pode ser vermelho, dourado ou preto, e (2) Todas as unidades de 3 blocos compostas de um bloco em cima de dois outros devem ser da mesma cor ou todas ser de cores diferentes.

Quantas maneiras existem para colorir uma 7-pirâmide

Answer 1

Dada uma linha de qualquer pirâmide, vemos que a linha acima dela é completamente fixada pela restrição de coloração: se dois blocos adjacentes são diferentes (iguais), o bloco acima deles deve ser da terceira (mesma) cor. Então, o número de$n$-piramidas é o mesmo que o número de maneiras de colorir a linha inferior irrestrita de $n$ blocos, ou seja $3^n$. A resposta para a pergunta específica é$3^7=2187$.