Questão de prova contínua

Question

Seja f: [0, ∞) → R uma função contínua e seja g: [0, ∞) → R a função definida por g (x) = sup {f (y) | y ∈ [0, x]}. Prove que g também é contínuo.

Tentei usar o texto de introdução à análise real para completar esta prova, mas não tenho certeza de como manipular a supermãe. Sei que preciso mostrar que g está aumentando, mas aí não sei para onde ir a partir daí.

Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Eu provaria o contrapositivo: se $g$ é descontínuo em $x_0$, então é $f$. Na verdade, mostrando$g$está aumentando é de grande ajuda porque as descontinuidades em funções crescentes precisam ser descontinuidades de salto. Em particular (com exceção do caso especial$x_0 = 0$) nós devemos ter $$\lim_{x \to x_0^-} g(x) < \lim_{x \to x_0^+} g(x).$$ Esses limites unilaterais existem essencialmente pela versão contínua do teorema de convergência monótona. Da esquerda para a direita, a função está aumentando e limitada acima por$g(x_0 + 1)$. Da direita, a função está diminuindo, limitada abaixo por$g(x_0/2)$ (Eu não escolhi $x_0 - 1$, apenas no caso de $x_0 \in (0, 1)$)

Por outro lado, se $x_0 = 0$, então a única maneira de termos uma descontinuidade é se $$f(0) = g(0) < \lim_{x \to 0^-} g(0).$$ Isso precisa ser tratado como um caso separado.

E se $x_0 > 0$, então deixe o limite esquerdo de $g$ estar $L$ e o limite certo seja $R$. Eu sugeriria provar que$f(x) \le L$ para todos $x \in [0, x_0]$, implicando que $\lim_{x \to x_0} f(x) \le L$se esse limite existe. Mas, por outro lado, para qualquer$n \in \Bbb{N}$, deve haver algum $x_n \in [0, x_0 + 1/n]$ de tal modo que $f(x_n) \ge R$. Isso implica que$\lim_{x \to x_0} f(x) \ge R$se existe. Assim, o limite não pode existir, portanto$f$ não pode ser contínuo em $x_0$.

Vou deixar o $x_0 = 0$caso para você, bem como preencher os espaços em branco! Deixe-me saber se você precisar de mais ajuda.