Questão do Semicírculo

Question

Preciso de ajuda com a questão da imagem. Eu só preciso de alguém para me ajudar me apontando na direção certa. Não quero uma solução completa. Eu quero tentar resolver essa questão sozinho, mas eu só preciso de alguém para me direcionar.

Eu estava pensando se a questão tem algo a ver com a união dos três pontos do círculo onde o círculo está tocando os semicírculos?

Ou talvez esta questão tenha algo a ver com triângulos semelhantes? Eu sei que um ângulo subtendido por um arco dentro de um semicírculo é de 90 graus.

Answer 1

Dica: você pode tentar usar a versão tangente-secante do teorema da potência do ponto, lembre- se de que se dois círculos são tangentes um ao outro (interna ou externamente), seus centros e o ponto de tangência são colineares e desenham todos os raios possíveis.

Answer 2

A dica:

Resolva a seguinte equação: $$\sqrt{(1+x)^2-x^2}=1+\sqrt{(2-x)^2-x^2},$$ Onde $x$ é um raio necessário.

Answer 3

DICA

Tente com uma abordagem de Inversão Circular que leve a$r=\frac 8 9$.

Answer 4

Deixe o centro do pequeno semicírculo ser C, o ponto em AB onde o círculo toca é D, p denota o centro do círculo, E é o ponto onde o círculo toca o semicírculo maior. Deixe o círculo tocar o semicírculo menor em T. Deixe o raio do círculo ser$r$, então $$OP=2-r, OD=\sqrt{(2-r)^2-r^2}=\sqrt{4-4r}, CD=\sqrt{(1+r)^2-r^2}=\sqrt{2r+1}.$$ Finalmente, $$CD-OD=1 \implies \sqrt{1+2r}-\sqrt{4-4r}=1 \implies r=8/9.$$

Answer 5

Dica

Tente juntar todos os centros e pontos de contato.