Raízes do quaternion para $x^2+2x+2$

Question

Então eu sei que existem soluções complexas $-1+i$ e $-1-i$Não tenho certeza de como descrever todas as soluções de quatérnios. eu sei$x^2=-1$ tem infinitas soluções nos quatérnios.

Eu também sei que você pode girar quatérnios, se eu pegar uma solução e girar em torno de algum vetor, essas rotações também resolvem a equação?

Answer 1

Mantenha a calma e complete o quadrado. A saber:

$x^2+2x=-2$

$x^2+2x+1=-2+1$

$(x+1)^2=-1$

então $x+1$ é uma unidade imaginária $u$, descrito na notação de quaternion usual como $ai+bj+ck$ com $a,b,c$ qualquer número real satisfatório $a^2+b^2+c^2=1$. Então,$x=-1+u$.