Rastreamento de erro e rastreamento de índice

Question

Digamos que eu queira replicar um índice como S & P500. As pessoas geralmente minimizam uma noção matemática chamada erro de rastreamento, que nada mais é do que o desvio padrão entre os retornos do índice e os retornos de nossa carteira. Mais precisamente, vamos$r_{pf}$ ser o retorno do nosso portfólio e $r_{idx}$ser os retornos do índice. Nós temos$TE = std(r_{pf}-r_{idx})$.

Não entendo por que minimizar esse erro de rastreamento é suficiente para construir um portfólio que rastreia o índice. Digamos que possamos minimizar o erro de rastreamento muito próximo de 0, o que significa que a variável aleatória$X$ definido como $X = r_{pf} - r_{idx}$ terá uma variação nula e, portanto, $X$ é quase certamente uma variável aleatória constante.

No entanto, o que nos diz que a constante será igual a 0? Pode ser igual a qualquer coisa, desde que$X$é quase certamente constante, sua variância é nula. Isso não responde ao nosso problema original de rastreamento do índice, pois queríamos$r_{pf}$ ser aproximadamente igual a $r_{idx}$.

Answer 1

Configuração: diferença média

Parece que sua reclamação com essa definição de erro de rastreamento é que ela não considera a diferença média entre $r_{pf}$ e $r_{idx}$. Existem algumas maneiras de considerar sua reclamação.

Vamos considerar duas carteiras que rastreiam o índice: carteiras $A$ e $B$ com retornos $r_{P_A}$ e $r_{P_B}$. Sua preocupação parece ser se$\text{var}(r_{P_A}-r_{idx})=\text{var}(r_{P_B}-r_{idx})=0$ mas $r_{P_A}=r_{idx}<r_{P_B}$: Ambas $A$ e $B$ tem 0 erro de rastreamento, mas $r_{P_B}-r_{P_A}=c>0$.

Qual portfólio é melhor?

Em primeiro lugar, é verdade que dada a escolha entre $A$ e $B$, preferiríamos portfólio $B$. $B$não rastreia o índice exatamente; ele retorna mais. Dessa forma, você está certo ao dizer que a definição de erro de rastreamento parece estar faltando um detalhe importante.

Arbitrage Concerns

Em segundo lugar, entretanto, você deve considerar o que provavelmente aconteceria neste cenário. Tenho dois instrumentos que diferem em retornos apenas por uma constante. Isto é arbitragem de livro : eu curto$A$ e usar o dinheiro para comprar $B$ ganho $c$. Quanto eu faço isso? Um monte - como em "tanto quanto possível". Quem se importa com o índice retorna quando posso ganhar uma garantia$c$sem ter que colocar nenhum dinheiro? Ações de arbitradores fechariam esses preços até$r_{idx}=r_{P_A}=r_{P_B}$.

Questões Práticas: Liquidez, Crédito e Limites de Risco

Terceiro: devemos considerar aspectos práticos uma vez que este faz realmente acontecer. Existem vários fundos de índice que reproduzem o índice, mas têm diferentes rácios de despesas. O que aconteceu nesses cenários? Bem, muitos dos fundos de índice caros (despesas altas) são fundos mútuos e, portanto, você não pode vendê-los a descoberto.

No entanto, existem ETFs de índice que têm taxas de despesas diferentes, e os ETFs podem ser vendidos a descoberto. Por exemplo, SPY tem uma proporção de despesas de cerca de 0,09%, enquanto VOO (que também acompanha o índice S&P 500) tem uma proporção de despesas de cerca de 0,03%.

Por que as pessoas não arbitram VOO versus SPY? Eles podem e provavelmente fazem até certo ponto; no entanto, os aspectos práticos de liquidez, margem e crédito se intrometem:

• SPY normalmente tem um \$0.01 bid-ask spread (about 0.003%) and VOO typically has a \$0,03 bid-ask spread (cerca de 0,01%). Negociar um contra o outro consumiria cerca de 0,026% para entrada e saída, o que reduz o lucro para cerca de 0,06% (sendo conservador).
• A negociação requer algum capital em uma conta em uma corretora; você não pode abrir uma conta sem dinheiro, ativos curtos para financiamento e negociar usando apenas esse capital.
• A venda a descoberto em um desses não dá a você o financiamento total para a outra posição devido ao Reg T; portanto, você mesmo precisa de algum capital para financiar metade da posição longa.
• Finalmente, você não pode fazer isso em tamanho enorme sem atingir os limites de posição de muitos corretores.

Resumo

Em resumo, você está certo ao dizer que preferiríamos um portfólio que rendesse mais entre as opções, sem erro de rastreamento, em comparação com um índice. Alguns casos de carteiras piores (despesas mais altas) existem - e persistem - porque são fundos mútuos que não podem ser vendidos. No entanto, a maioria dos casos de ETFs mais caros não são muito mais caros, de modo que estão dentro dos limites de arbitragem de spreads bid-ask mais empréstimos para financiar a posição longa.

Answer 2

Aliado a muitos comentários já feitos, você pode quase ter certeza que a constante "ausente" da metodologia de erro de rastreamento padrão não será zero. Como o rastreador custa algo positivo (geralmente muito mais baixo do que os custos de gestão de fundos ativos na mesma classe de ativos) para mantê-lo, ele é realmente "Índice de referência - Razão de despesa total" em primeiro lugar.

Minimizar a soma total dos resíduos quadrados (RSS) entre o rastreador e o índice após os custos forçaria o rastreador a se posicionar de maneira que deixaria qualquer usuário do rastreador com uma exposição de risco diferente em relação a títulos, ouro, crédito etc. têm usando o próprio índice em seus modelos, comparando com outras classes de ativos. Portanto, há um sentido em que min-TE e aceitar algum arrasto é, de fato, uma representação mais legítima do índice do que aquela que é apenas erros de quadrados mínimos. Se o mínimo (RSS) for alcançado, por exemplo, mantendo diferentes combinações de, digamos, ações de tecnologia versus energia, isso pode fazer com que o fundo se comporte de maneira diferente do índice em carteiras de múltiplos ativos diversificadas. Porque o mix Tech-vs-Energy tem correlações, digamos, petróleo e títulos do tesouro, que são diferentes daquelas do S & P500.

Também se presume que apenas tentar manter a mesma mistura do mercado em qualquer ponto no tempo, também conhecido como "replicação completa", o que baleias massivas como o SPY podem fazer com credibilidade a baixo custo, é um teste de conceito básico e justo. Portanto, o rastreamento de erros representa simplesmente uma métrica de eficiência intuitiva (não um teste de pureza estatística). É possível construir um ETF que forneça rastreamento puro menos um (pequeno) custo fixo sem nenhum erro de rastreamento. Se o fundo simplesmente obtiver o swap do índice relevante de um banco de investimento ... exceto que seu erro de rastreamento quase zero e RSS baixo contêm um risco de crédito de contraparte incomensurável e irreportável (que pode chegar a zero, criando um grande erro de rastreamento); -) Mais fácil e melhor do que apenas manter a mesma mistura de ações (e enfrentar o problema com erros de rastreamento suaves), do que tentar complicar demais o jogo de medição?