Resolver $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Encontre para quais valores de $n \in \mathbb{N}$ segura isso $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Tentei usar a desigualdade $(1 + x) \leq e^x$, mas a partir disso, só posso descobrir que a desigualdade vale para $n > 36$. Mas eu preciso conseguir$n$ tão pequeno quanto possível.

Eu também tentei a indução em $n$, mas eu continuei na etapa de indução. Em particular, ao mostrar que$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Agradeço qualquer ajuda e sugestões.

Answer 1

Nós temos $e^{3x} > 3x \ge x$ para $x\ge 0$. Aplicar isso a$x = \sqrt{n}$ para obter $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Quadrado ambos os lados e você tem$e^{6\sqrt{n}} > n$ para todos $n\ge 0$.

Answer 2

(Com base na dica do usuário 2661923, consulte os comentários acima.)

eu coloco $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. A primeira derivação de$f(x)$ é $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Nós notamos que $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Além disso, não é difícil verificar se$f'(x) > 0$ para $x \in [1, +\infty)$. portanto$f$ está aumentando $[1, +\infty)$ e $f(1) > 0$. Portanto$f(x) > 0$ para todos $x \in [1, +\infty)$. Isso implica que$x < e^{6\sqrt{x}}.$

E minha pergunta segue facilmente.

Answer 3

A desigualdade vale para todos os positivos $x$, de forma tão eficaz que uma prova parece exagerada :-)

(Notar que $0<e^{6\sqrt0}$ e $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

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Ou usando Taylor,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$