Sal em um recipiente - problema de ODE

Question

Trabalhamos com um reservatório de água com capacidade de até 1000 litros. O reservatório de água contém inicialmente 500 litros de água, em que 20 kg de sal foram dissolvidos. Há agitação no recipiente, então a concentração de sal é a mesma em todos os lugares.

A água limpa flui para o recipiente a uma velocidade de 4L / min. Ao mesmo tempo, a água salgada sai do recipiente a uma velocidade de 2L / min. Isso causa problemas, pois o contêiner está apenas em 1000L. Depois de um tempo, um alarme soa devido a um recipiente cheio.

(a) A que horas soa o alarme?

A equação diferencial que descreve este problema é dada por

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Afirma-se que o teor de sal é de 10kg quando o alarme toca, ou seja $y(250)=10$. Assim que o alarme soa, o influxo muda de forma que a água salgada agora flui com 35g de sal por. litros na taxa de 1L / min. Ainda há 2L fluindo por. minuto.

(b) Quanto sal há no recipiente quando há novamente 500L no recipiente?

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Minha resposta: Bem (a) foi bem fácil, consegui que o alarme soasse após 250 minutos desde $500+2\cdot 250=1000$e então o alarme tocará. Mas a última parte, ou seja, (b) não é fácil para mim. Acredito que tenho que fazer uma ODE a partir das informações que acabei de receber, mas aqui tentei várias vezes. Observe que esse problema veio de um livro onde havia mais dúvidas, apenas peguei a parte relevante. (b) também é declarado como "voluntário" no livro. Observe que este não é um problema de lição de casa.

Answer 1

Para a parte (b),

Você tem $1000$ litro de água para começar, que tem $10$ kg de sal.

O volume de água está reduzindo a uma taxa de 1 litro / min (1 litro entrando e 2 litros saindo a cada minuto). Vai levar$500$ minuto para reduzir de $1000$ litro para $500$ litro.

Portanto, o volume de água restante no tanque após o tempo $t$ minutos $= 1000 - t$

O sal está fluindo a uma taxa de $0.035$ kg / min.

Diga que existe $y$ kg de sal em um determinado momento $t$ dentro $1000-t$ litro de água.

Então na hora $t$, o sal está fluindo a uma taxa de $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (Como $2$ litros por minuto fluindo)

Então, taxa de variação do sal $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Digamos $x = 1000 - t$ então com substituição,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(Eu)

Agora, para resolver esta equação linear, temos que usar o fator de integração. Usei o WolframAlpha para verificar.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Multiplicando ambos os lados por $\mu$ em (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Substituindo de volta $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

Em $t = 0$, Há sim $10$ kg de sal.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Então, constante $c = -\frac{25}{1000^2}$

Em $t = 500$,

Sal total $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kg.