Série Laurent e aparente singularidade essencial

Question

Depois de ler "Matemática para físicos", de Susan M. Lea, encontrei uma sutileza que não consigo virar a cabeça (p. 128). Considere a função

$$f(z)=\frac{1}{z^2-1} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{z-1}-\frac{1}{1+z}\right]$$

que claramente tem 2 pólos simples em $z=\pm 1$. Se quisermos calcular sua série Laurent em torno$z=1$, obteríamos:

$$\frac{1}{1+z}=\frac{1}{2+(z-1)} = \frac{1}{(z-1)\left(1+\frac{2}{z-1}\right)}$$ $$=\frac{1}{z-1}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{(z-1)^{n}}$$ e assim: $$\frac{1}{z^2-1} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{z-1}-\sum_{n=0}(-1)^n\frac{2^n}{(z-1)^{n+1}}\right] = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{(z-1)^{n+1}}$$

O que vejo aqui é um número infinito de potências negativas de (z-1) e, portanto, ficaria tentado a concluir que há uma singularidade essencial neste ponto. O que me impede de concluir isso, visto que é claro que não há singularidade essencial da função analítica?

Answer 1

Como mencionei nos comentários, a série que você derivou não existe em uma vizinhança perfurada do ponto $z=1$ pois só converge em $|z-1|>2$.

Você deveria ter expandido $\frac{1}{1+z}$ através da $$\frac{1}{1+z}=\frac{1}{2-(1-z)}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1-z}{2}}=\frac12\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{1-z}{2}\right)^n$$ e converge em $|z-1|<2$. Então sobre$z=1$ sua série Laurent completa é $$f(z)=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{1-z}-\frac12\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1-z}{2}\right)^n \right]=-\frac{1}{4}\sum_{n=-1}^\infty \left(\frac{1-z}{2}\right)^n. $$