Sheafification de um subpresheaf

Question

Deixei $\mathscr{F}$ seja um subpré-folha de um feixe $\mathscr{H}$. Se bem entendi, neste caso a sheafificação tem uma forma particularmente simples. É o feixe definido por$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ onde dizemos isso $s\in \mathscr{H}(U)$ encontra-se localmente em $\mathscr{F}$ é que há uma tampa aberta $\{U_i\}$ do $U$ de tal modo que $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ para cada $i$.

É claro que este é realmente um feixe, mas não consigo ver como ele satisfaz a propriedade universal da sheafificação.

Pensei em fazer da seguinte forma: Realmente acho que essa construção é funcional em $\mathscr{F}$. Supondo que, dado um morfismo$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ devemos ter um morfismo induzido $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ que coincide com nosso morfismo original ao se restringir a $\mathscr{F}$. E se$\mathscr{G}$ é um feixe, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$e então isso produz nosso morfismo desejado. Mas eu realmente não consigo ver por que essa construção é funcional em$\mathscr{F}$.

Answer 1

Dado um feixe $\mathscr{G}$ e um morfismo de pré-céus $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, você pode construir diretamente um morfismo de pré-céus (e, portanto, de feixes) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ que estende $f$. Dada uma seção$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, escolha qualquer capa aberta $\{U_i\}$ do $U$ de modo que as restrições $s\mid_{U_i}$ deitar em $\mathscr{F}$. Então você pode aplicar$f$ a cada uma dessas restrições e cole suas imagens para obter $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Não é difícil verificar se está bem definido, ou seja, independente da tampa aberta, e que de fato$\widetilde{f}$ é a extensão única de $f$. Este último mostra que$\widetilde{\mathscr{F}}$ é uma sheafificação.

Em relação à funcionalidade que você menciona, já que sua definição exige a escolha de um feixe $\mathscr{H}$, Não estou certo de como entender isso (é claro que você sabe depois do fato de que a sheafificação é funcional pela propriedade universal).

Answer 2

Estou assumindo $\mathscr H$ é um feixe de grupos abelianos em um espaço topológico $X$.
Desde a$\mathscr H$ é um feixe, pela propriedade universal de feixe de feixes, o morfismo dos pré-feixes $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ fatores através de $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Para ver isso$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$é um isomorfismo, basta verificar ao nível das hastes.
Observe que no nível de talos, temos para$x\in X$, o espaço de base, a composição $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$que é identidade. Além disso,$j_x$é um isomorfismo. Isso vem desde a própria construção da sheafificação. portanto$\bar \iota_x$ é um isomorfismo para cada $x\in X$ e, portanto $\bar \iota $ é um isomorfismo.

Nota: A construção padrão de$\mathscr F^{sh}$ é considerar $\mathscr F$ como uma subpré-folha do feixe de talos $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ e então olhe para $\tilde {\mathscr F}$ neste feixe.