Similaridade geométrica de funções

Question

Eu sou um estudante do ensino médio de 16 anos e recentemente escrevi um artigo sobre uma aproximação numérica de funções distintas. Mostrei isso aos meus professores e eles não entendem. Minhas perguntas: Este é um teorema válido a ser usado para estimar funções com funções baseadas de forma diferente? Algo semelhante já foi criado? É tudo útil / publicável? Alguma dica de como melhorar? Vou dar um esboço, mas você pode encontrá-lo aqui:https://www.overleaf.com/read/xjqhfgvrcrbj

Definições

A similaridade geométrica refere-se à dilatação de uma forma particular em todas as suas dimensões. Provas de similaridade geométrica são incluídas nas provas de congruência de triângulos com provas AAA (Ângulo-Ângulo-Ângulo). Saber os tamanhos de todos os lados de ambos os triângulos:$\triangle{ABC}$ e $\triangle{A'B'C'}$, para encontrar o fator de dilatação e provar a similaridade geométrica, o seguinte deve ser verdadeiro: $\frac{\mid A' \mid}{\mid A \mid} =\frac{\mid B' \mid}{\mid B \mid}=\frac{\mid C' \mid}{\mid C \mid}$.

Interpretando funções como formas no plano cartesiano e usando geometria, funções geometricamente semelhantes podem ser calculadas. Analiticamente, isso implicaria em uma função$y=f(x)\; \{x_0\leq x \leq x_1\}$ uma função geometricamente semelhante seria da forma $ny=f(nx)\;\{\frac{x_0}{n}\leq x \leq \frac{x_1}{n}\}$ Onde $n\in {\rm I\!R}$. Isso ocorre porque a função é escalada pelo mesmo fator no$x$ e $y$ direção, portanto, seria geometricamente semelhante.

No entanto, para comparar duas funções que são distintas, multiplicando $x$ e $y$ por $n$não será suficiente para provar a semelhança. A fórmula para encontrar o fator de dilatação pode ser usada para provar a semelhança entre duas funções. Ao descrever uma função geometricamente, ela possui três 'arestas' superficiais que podem ser representadas como conjuntos. Duas das arestas são os dois eixos$x$ e $y$. O comprimento do lado '$y$' é o $\max \{ f(x) : x = 1 .. n \}-\min \{ f(x) : x = 1 .. n \}$ e o comprimento da lateral $x$ é $b_1$-$a_1$ Onde $b_1$ é o limite superior e $a_1$é o limite inferior. Finalmente, o terceiro lado da função será o comprimento do arco ao longo do intervalo$\{a_1\leq x\leq b_1\}$. Outra característica de duas formas serem geometricamente semelhantes é que a área é aumentada pelo fator de dilatação ao quadrado. Assim, a partir da fórmula para o fator de dilatação para dois triângulos semelhantes, o seguinte teorema pode ser derivado:

Teorema Let$y_1\;\{a_1\leq x \leq b_1\}$ e $y_2\;\{a_2\leq x \leq b_2\}$ser funções cuja derivada existe em todos os pontos. Se ambas as funções são geometricamente semelhantes, o seguinte sistema é válido: \ begin {equation} \ frac {1} {\ big (b_1-a_1 \ big)} \ int_ {a_1} ^ {b_1} \ sqrt {1+ \ bigg ( \ frac {dy_1} {dx} \ bigg) ^ {2}} dx = \ frac {1} {\ big (b_2-a_2 \ big)} \ int_ {a_2} ^ {b_2} \ sqrt {1+ \ bigg (\ frac {dy_2} {dx} \ bigg) ^ {2}} dx \ end {equação} \ begin {equation} \ frac {1} {\ big (b_1-a_1 \ big) ^ 2} \ int_ {a_1 } ^ {b_1} y_1 dx = \ frac {1} {\ big (b_2-a_2 \ big) ^ 2} \ int_ {a_2} ^ {b_2} y_2dx \ end {equation}

Similaridade entre funções distintas

Ao descrever uma função como distinta, ele denota que as funções têm bases diferentes, ou seja, senoidal e exponencial. Como mencionado acima, para existir semelhança geométrica de uma função$y=f(x)$ a função resultante se tornará $ny=f(nx)$. Porém, ao comparar funções de bases diferentes, as equações (1) e (2) são necessárias para encontrar os limites de similaridade. Por exemplo, o problema:

Encontre os limites $b$ e $a$ Onde $e^x\;\{0\leq x\leq 1\}$ é similar a $x^2 $.

Para ver exemplos vá para o link acima. Qualquer ajuda seria muito apreciada e desculpas se isso for matemática crua.

Answer 1

Adoro ver um estudante do ensino médio interessado em explorar esse tipo de questão! Seu pensamento está no caminho certo: pegue um problema difícil (encontrar essas semelhanças) e tente expressá-lo em termos de algumas condições mais simples e computáveis ​​(o comprimento e a área do arco). Espero que você consiga provar o seu teorema com algumas mudanças simples de coordenadas, também conhecido como "$u$-substituição".

No entanto, duvido que as duas condições que você declara em seu teorema (sobre a área e o comprimento de arco) sejam suficientes para garantir que duas funções sejam semelhantes. Mesmo se você adicionar as informações sobre a proporção de "altura" e "comprimento", o que você pode chamar de proporção de aspecto, eu realmente duvido que você tenha informações suficientes para dizer se duas funções são semelhantes. Essencialmente, todas as suas medições são em grande escala, mas a similaridade estará muito mais sintonizada com o comportamento em pequena escala de suas funções.

Primeiro como uma simplificação, se duas funções fossem semelhantes, poderíamos aplicar a similaridade e vê-las definidas no mesmo domínio com o mesmo intervalo. Portanto, quero encontrar duas funções diferenciáveis ​​que compartilham o mesmo domínio e intervalo, têm a mesma integral e têm o mesmo comprimento de arco, mas não são idênticas. Por exemplo, você pode apenas olhar para$\sin x$ e $\cos x$ definido em $0 \leq x \leq 2\pi$. Talvez esse não seja o melhor exemplo, pois essas funções são semelhantes em um domínio menor. Mas ele passa o ponto: apenas medir o comprimento de arco total e a integral não informa onde o comprimento e a área estão realmente distribuídos no domínio. Você se dá muita liberdade para trabalhar.

Answer 2

Isso é maravilhoso! Que interessante conjunto de ideias. Parece que você está dizendo:

1. Funções da mesma forma (como quadráticas) podem ser geometricamente semelhantes entre si - elas estão relacionadas entre si por uma mudança de escala.

2. Por extensão, você identifica três propriedades geométricas importantes dessas (gráficos de) funções: elas têm (a) largura proporcional, (b) altura e (c) área, e o fator de proporcionalidade para área é o quadrado do fator para comprimento .

3. Com base nesses quatro fatores, você pode definir similaridade entre funções de diferentes tipos (como quadrática e exponencial). São semelhantes, por definição, sempre que têm (a) largura, (b) altura e (c) área proporcional. Na verdade, como as funções têm formas diferentes , é até interessante quando são apenas iguais (proporcionais com um fator de 1).

4. Você sugere um teorema interessante, como: argumentando a partir de triângulos semelhantes (infinitesimais), se dois (gráficos de) funções são semelhantes, então seus comprimentos médios de arco são proporcionais pelo mesmo fator.

5. Você implanta um conjunto de métodos de cálculo para encontrar intervalos durante os quais $x^2$ e $e^x$ são semelhantes entre si neste sentido.

6. Você sugere um teorema de que as derivadas de funções semelhantes são semelhantes nas mesmas regiões.

Todas essas são explorações interessantes da ideia, e sua escrita faz um bom trabalho ao comunicá-las. Eu li alguns artigos matemáticos que priorizam definições e símbolos antes de contar ao leitor as idéias mais importantes e explicar de onde elas vêm. Eu gostei que você fez um bom trabalho ao explicar que suas ideias de similaridade geométrica de gráficos de funções vêm da extração de ideias de similaridade geométrica de funções. Também gostei

Eu acho que você poderia tornar seu artigo ainda melhor separando claramente a definição de similaridade geométrica de funções diferentes. Ou seja, você poderia escrever, em seu próprio parágrafo, " Definição: Duas funções são geometricamente semelhantes se ..."

Essa modificação tem três vantagens. Primeiro, ele destaca sua contribuição inovadora (a definição), separando-a um pouco da discussão de conceitos que vieram antes, ou seja, similaridade de triângulos e similaridade de funções da mesma forma. Em segundo lugar, ajuda os leitores (como eu) a lembrar a diferença entre quais propriedades são sua definição de similaridade (comprimento, largura, área proporcional) e quais propriedades são teoremas que você deriva de sua definição (comprimento de arco proporcional). Terceiro, freqüentemente leitores como eu querem olhar para trás para verificar sua definição; separar a definição torna mais fácil consultar novamente.

No geral, gostei de ler seu artigo e das diferentes direções e abordagens que você adotou ao investigar as ideias.