Singularidade da Decomposição Espectral

Question

Em um dos artigos (relacionados à computação quântica) que estou lendo, me deparei com esta declaração que diz:

Um resultado elementar é que conjuntos de autoprojetores ortogonais de rank um de operadores Hermitianos não são únicos quando o espectro inclui autovalores degenerados, e que a unicidade é recuperada quando autoprojetores de rank um são combinados em autoprojetores de rank completo, correspondendo a subconjuntos máximos de autoprojetores de rank- um autoprojetores para autovalores distintos.

Para qualquer operador Hermitiano de dimensão finita$\rho$, há um conjunto "único" de projetores full-rank$\Pi_k$de tal modo que,$\rho = \sum_k Tr(\rho\Pi_k)\Pi_k$, que também satisfaz$\sum_k\Pi_k = I $e$\Pi_k\rho = \rho\Pi_k = Tr(\rho\Pi_k)\Pi_k$

Aqui eu entendo que a decomposição espectral pode não ser única se houver degeneração envolvida. O que exatamente são os "projetores de nível completo" mencionados aqui e por que eles tornam a decomposição única.

Answer 1

Considere a seguinte matriz:

$$A=\pmatrix{1 &0&0\\0&2&0\\0&0&2}$$

eu posso decompor$A$como a soma de projetores em subespaços 1D como segue:

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}+2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1}$$

Mas essa decomposição não é única, pois eu também poderia usar esta:

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}}+2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}}$$

Cada matriz de projeção escrita acima é uma projeção em um subespaço 1D de$\mathbb R^3$. No entanto, uma vez que o autoespaço correspondente ao autovalor$2$é 2D, a segunda e terceira projeções não são únicas.

O que posso fazer, no entanto, é expressar$A$como

$$A = 1 \cdot\pmatrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0} + 2\cdot\pmatrix{0&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$$

Agora, a primeira projeção está em um subespaço 1D, mas a segunda projeção está no subespaço 2D completo correspondente ao autovalor$2$. Isto é o que o seu artigo quis dizer - as projeções devem estar nos autoespaços completos, não apenas nos subespaços 1D, se você quiser que a decomposição seja única.