Singularidade de campos finitos com $p^n$elementos [duplicado]

Question

É bem sabido que existe apenas um campo finito com $p^n$ elementos, até isomorfismo, onde $p$ é um primo e $n \geq 1$.

Deixei $n = m t$, Onde $m, t > 1$.

Então $F = Z_p[X]/(f(X))$ é um campo com $p^n$ elementos, fornecidos $f$ é algum polinômio irredutível de grau $n$ dentro $Z_p$.

Pela mesma razão, $G = Z_p[X]/(g(X))$ é um campo com $m$ elementos ($g$ irredutível de grau $m$) Então$G$ tem $p^m$ elementos

Finalmente vamos: $H = G[X]/(h(X))$ Onde $h$ é um polinômio irredutível de grau $t$ com coeficientes em $G$.

Agora, no meu entendimento $F$ e $H$ Ter ambos $p^n$elementos Então minha pergunta é:

Está $F$ e $H$ isomórfico?

Answer 1

Isso se baseia em um fato geral sobre a divisão de campos.

Deixei $F$ ser um campo e $f(X)\in F[X]$ser um polinômio mônico. Um campo de extensão$K$ do $F$é um campo de divisão para$f$ E se

1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ dentro $K[X]$ (as raízes não precisam ser distintas);
2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Teorema. E se$K_1$ e $K_2$ estão dividindo campos de $f(X)\in F[X]$, então existe um isomorfismo de campo $\varphi\colon K_1\to K_2$ partida $F$ fixo pontualmente.

A prova é longa e pode ser encontrada em qualquer livro sobre a teoria de Galois, porque é uma ferramenta básica para isso.

Agora considere o polinômio $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, Onde $\mathbb{F}_p$ é o $p$campo -element (que é único até um isomorfismo único).

Deixei $K$ seja um campo de divisão de $f(X)$. Então$f(X)$ tem $p^n$ raízes distintas em $K$ (porque a derivada do polinômio é $-1$) Por outro lado, o conjunto de raízes de$f(X)$ é um subcampo de $K$: na verdade, se $a,b$ são raízes, então $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ assim $a+b$ é uma raiz de $f$. Analogamente$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$e é fácil verificar os recíprocos. Desde também$0$ e $1$ são raízes que terminamos.

portanto $K$ é o conjunto de todas as raízes de$f$ e portanto $|K|=p^n$.

Por outro lado, se $K$ é um campo com $p^n$ elementos, então o mesmo argumento de antes mostra que $X^{p^n}-X$ tem $p^n$ raízes distintas em $K$, assim $K$ é um campo de divisão para $f(X)$.

A exclusividade até o isomorfismo agora segue do teorema acima.