Sobre a desigualdade de Samuelson

Question

Se tivermos um conjunto de$n$numeros reais:$$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$a média aritmética é:$$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$e o desvio padrão:$$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$Se o conjunto de$n$Os números são limitados de modo que:$$m\le x_i\le M$$um refinamento da desigualdade de Samuelson provado por Bhatia e Davies é:$$S^2\le (M-A)(A-m)$$Minha pergunta é: quando a igualdade vale? A igualdade vale para qualquer tipo de distribuição dos números em$\Omega?$

Answer 1

Para qualquer$i$nós vemos que$S^2$é uma função convexa de$x_i$, que diz:$$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$Id est, a igualdade ocorre para$x_1=x_2=...=x_k=m$e$x_{k+1}=...=x_n=M.$

Agora, precisamos escolher um valor de$k$, para o qual obteremos um valor máximo.

Eu espero que isso ajude.