Solução de problema USAMO
Eu tinha pedido uma dica aqui https://math.stackexchange.com/questions/3918416/usamo-problem-hint?noredirect=1#comment8081183_3918416Eu tinha tentado a indução uma vez, mas pensei que não ia funcionar, então deixei-a, mas depois de ver o comentário de @lulu, decidi tentar novamente. Por favor, veja se minha solução está correta.
[USAMO 2003] Prove que para cada número inteiro positivo n existe um número de n dígitos divisível por $5^n$ todos cujos dígitos são ímpares.
MINHA SOLUÇÃO: Então, primeiro, verifiquei alguns casos pequenos e descobri que poderíamos gerar o número com (n + 1) dígitos que satisfaçam a propriedade adicionando um número à sua frente, ou seja. adicionando b 10$^n$ para o número com n dígitos.
Continuaremos com a indução, seja P (n) significar que existe um número de n dígitos divisível por $5^n$ todos cujos dígitos são ímpares.
P (1) é verdadeiro como 5 | 5.
Seja P (k) verdadeiro, ou seja. deixe 5$^k$ | $a_ka_{k-1}...a_1$ com $a_i$ $\neq$ 2l para eu $\in$ {1,2 ... k}.
Vou tentar provar isso adicionando $ b \cdot 10^k $ com $ b \in {1,3,5,7,9} $. podemos ter um número que é divisível por$5^{k+1}$.
Então, queremos 5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $a_ka_{k-1}...a_1$. -> eq.1
Deixei $a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $
Então, da eq. 1, introduzindo$a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $ , nós vamos chegar
5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $5^k$m, então dividindo por $5^k$ , nós precisamos
5 $|$ $2^k \cdot b + m$
Como $ b \in {1,3,5,7,9} $ , $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5)
Então agora m $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5), deixe m $\equiv$ r (mod 5),
Nós precisamos $2^k \cdot b + r =0 (mod 5)$
agora,$2^k \equiv$ 1,2,3,4 (mod 5)
tão meticulosamente examinando cada caso de valores possíveis de $2^k$ e m (mod 5) (há 16 casos), provamos que podemos encontrar um $ b \in {1,3,5,7,9} $ tal que 5 $|$ $2^k \cdot b + m$ .
Esta é a primeira vez que escrevo tanto em látex, então lamento se houver algum erro.
Se você fosse um avaliador, em 7, quantos pontos você me daria?
Respostas
Eu não acho que as respostas do math.se podem abordar como eles marcam isso, mas posso aconselhar sobre uma maneira mais limpa de escrever as respostas, porque suas ideias estão certas, mas elas poderiam ser resolvidas com clareza algébrica e com relação à aritmética do módulo. (Se você está afirmando que, se fizermos algo, eventualmente obteremos um resultado específico, tente afirmar isso como um teorema da existência que é óbvio, conhecido ou comprovado em seu trabalho.) A saber:
Nós reivindicamos alguma sequência $a_n$ do $n$- números de dígitos na base $10$, todos os dígitos ímpares, satisfaz $5^n|a_n,\,10^n|a_{n+1}-a_n$. Em particular escreva$a_n=5^nb_n,\,a_{n+1}=a_n+10^nc_n$, tão $b_1=1$ (Porque $a_1=5$) e$$5^{n+1}b_{n+1}=a_{n+1}=c_n10^n+5^nb_n\iff5b_{n+1}=c_n2^n+b_n,$$então é suficiente escolher $c_n\in\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}$ com $5|c_n2^n+b_n$. Esta escolha é possível porque estes$5$ escolhas do $c_n$ cada um atinge um módulo de classe de resíduo diferente $5$ (Porque $5\nmid k2^n$ para $k\in\{2,\,4,\,6,\,8\}$), e exatamente um consegue $5|c_n2^n+b_n$.
Existe um $\,x\in\Bbb Z\,$ com $\,5\mid 2^k x - m\!\iff\! \bmod 5\!:\ 2^k x \equiv m\,$ tem uma raiz $\,x.\,$ Por https://math.stackexchange.com/a/3290965/242
$$\begin{align} \color{#c00}c\ x &\equiv \, d\!\!\pmod{\!\color{#0a0}n}\ \ \text{has a root}\ x\!\iff\! \gcd(\color{#c00}c,\,\color{#0a0}n)\mid d\\[.3em] {\rm thus}\ \ \color{#c00}{2^k} x&\equiv m\!\!\!\pmod{\!\color{#0a0}5}\ \ \text{has a root}\ x,\ \, {\rm by}\ \ \gcd(\color{#c00}{2^k},\color{#0a0}5)\!=\!1\end{align}\qquad$$
e podemos escolher uma raiz $\,x\in \{1, 3, 5, 7, 9\}\,$ uma vez que é um https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Residue_systems $\!\bmod 5;\,$ alternativamente: $ $ E se $\,0\le x < 5\,$ é mesmo então $\,x':= x\!+\!5\,$ é estranho $< 10,\,$ e $\,x'$ permanece uma raiz por $\,x'\equiv x\pmod{\!5}$.