Soma do número triangular

Question

Bem, números triangulares conhecidos $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$Estou procurando métodos diferentes para obter a soma desses números. Eu sei que podemos escrever como abaixo$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ Eu sei que podemos mostrar isso por $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$, Mas existem mais métodos para mostrar este fato? Por exemplo, uma prova sem palavra, ou qualquer outra coisa. Agradecemos antecipadamente por qualquer dica, solução ou ideias diferentes. Além disso, estou procurando detalhes sobre a solução heurística.

Answer 1

Usando a identidade do taco de hóquei :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Existem algumas "Provas sem palavras" disso na Prova sem palavras de Nelson . Um é o seguinte:

Considere o triângulo

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

e suas rotações

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

Resumindo cada entrada nos três triângulos, obtemos:

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

Portanto $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

portanto $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.