Subvariedade embutida e isomorfismos do espaço ambiente.

Question

Perdoe se esta é uma pergunta duplicada. Digamos, por exemplo, que eu uma subvariedade incorporada$N$ de um múltiplo $M$. Eu também sei disso$M$ é isomórfico (difeomórfico?) para $M'$ via isomorfismo $f$. A subvariedade incorporada$N$é definido através do teorema do conjunto de nível regular (ver por exemplo Lee, ISM primeira edição, Corr. 8.10). Posso dizer isso$N$ também está embutido em $M'$?

Minha tentativa: sabemos que existe uma imersão $F:N \to M$, e que essa imersão é uma incorporação topológica. Parece que poderíamos considerar$f \circ F : N \to M' $, e embora eu veja que isso é uma imersão, não consigo ver que também é uma incorporação topológica. Não é este o caminho a seguir? Posso dizer mais alguma coisa?

Answer 1

O fato chave se você precisar, se quiser mostrar que $f\circ F$ é uma incorporação topológica é, que as restrições de mapas contínuos são contínuas:

E se $f:X\to Y$ é um mapa contínuo entre espaços topológicos, $A\subseteq X$, $B\subseteq f(A)$, então a restrição $f :A\to B$ também é contínuo, onde $A$ e $B$ estão equipados com as topologias de subespaço.

Disto se segue que se $f:X\to Y$ é um homeomorfismo e $A\subseteq X$, a restrição $f:A\to f(A)$ também é um homeomorfismo.

Agora, no seu caso, você quer mostrar que $f\circ F:N\to M'$ é uma incorporação topológica, o que significa que a restrição $f\circ F:N\to f(F(N))$ é um homemorfismo.

Mas este mapa pode ser escrito como a composição

$$N\stackrel{F}\to F(N)\stackrel{f}\to f(F(N))$$

que pelo exposto e a suposição de que $F:N\to M$ é uma incorporação topológica é uma composição de homeomorfismos e, portanto, um homeomorfismo.