Taxa de libor e martingales

Question

Sabemos que a taxa futura de Libor $L(t, T, T + \tau)$, na ausência de arbitragem, é um martingale sob a medida $T + \tau$, ie $Q^{T+\tau}$. Neste contexto:

$$ \tag{1}\label{1} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau \right], $$

com $t \leq T$. Isso significa que a expectativa sob esta medida específica da taxa de Libor à vista$L(T, T, T + \tau) = \hat{L}(T, T + \tau)$ pode ser calculado analiticamente.

Agora, resumidamente, o que eu gostaria de saber se esta propriedade pode ser estendida para a taxa de Libor forward:

$$ \tag{2}\label{2} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau \right], $$

com $t \leq s \leq T$. Se você pode responder a isso, não há necessidade de continuar lendo.

O resultado em \ eqref {1} é muito útil para muitos cálculos. Por exemplo, é usado para uma avaliação de swap vanilla, mostrando que seu preço depende apenas da estrutura a termo das taxas de juros observadas na data de avaliação.

Vamos analisar um caso mais simples. Imagine o seguinte fluxo de pagamento:

    ⋅------x//////////x------>
    |      |          |
    t    Tx = T      Tp = T + τ

onde Txrepresenta uma data de fixação e Tpuma data de pagamento. O valor deste contrato no momento$t \leq T_x$ É dado por:

$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(T, T, T + \tau) \right]\\ V(t) &= P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \end{align} $$

Onde $D(t, T)$ representa o fator de desconto e $P(t, T)$o título de desconto ou título de cupom zero. A equação anterior resulta em (usando a propriedade definida em \ eqref {1}):

$$ V(t) = P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(t, T, T + \tau) $$

Por enquanto, tudo bem. Agora, gostaria de calcular o preço de um fluxo generalizado de pagamento, dado por:

    ⋅------x----+//////////+----x------>
    |      |    |          |    |
    t      Tx   Tb         Te   Tp

onde Txrepresenta uma data de fixação, Tbuma data de início de acumulação, Teuma data de fim de acumulação e Tpuma data de pagamento.

O valor deste contrato no momento $t \leq T_x$ É dado por:

$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot L(T_x, T_b, T_e) \right]\\ V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_e) \right] \end{align} $$

Essa última expectativa parece não ser analiticamente tratável, certo? O que eu gostaria de saber é quais restrições devo impor para resolver analiticamente. Por exemplo, é suficiente combinar apenas a data de término e a data de pagamento, ou seja,$T_e = T_p$, que resulta em:

$$ \begin{align} V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_p - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_p) \right] \end{align} $$

Esta expectativa pode ser resolvida se \ eqref {2} for verdadeiro. Talvez \ eqref {2} possa ser demonstrado usando a definição da taxa futura de Libor:

$$ L(t, T, T + \tau) = \frac{1}{\tau} \cdot \left( \frac{P(t, T)}{P(t, T + \tau)} - 1 \right) $$

Qualquer ideia ou isso não é possível e ambos $T_x = T_b$ e $T_e = T_p$ deve corresponder para obter uma expectativa analiticamente tratável?

Finalmente, apenas para completar, gostaria de salientar que quando $T_e \neq T_p$, surge a necessidade de um ajuste de convexidade. Esta questão é toda sobre perguntar se um ajuste de convexidade ou qualquer outra coisa é necessária quando$T_x \neq T_b$.

Answer 1

Precisamos apenas usar a propriedade da torre de expectativa condicional ($t\leq s\leq T$):

$$ \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau)\right] =\mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ \mathbb{E}_s^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] = L(t, T, T + \tau) $$