Tempo de Big Crunch

Question

Para um universo que é plano, tem matéria e uma constante cosmológica, podemos escrever a equação de Friedmann da seguinte maneira:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Eu entendo que se o segundo termo for negativo ($\Omega_{m,0}>1$), então o destino final do universo é que ele entrará em colapso novamente no Big Crunch!

Eu entendo que posso calcular o valor máximo do fator de escala fazendo $H^{2}=0$ e que posso reescrever a equação acima como uma ODE apenas com alguma álgebra para ter a seguinte expressão:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

que relaciona o tempo cósmico com o fator de escala $a$. Minha pergunta é a seguinte: Como posso calcular o tempo do Big Crunch, (por exemplo, o tempo que teremos novamente$a=0$?

Eu pensei sobre ser o dobro do integral acima com o limite superior sendo o $a$ para o qual temos $H(t) = 0$, mas não faz muito sentido para mim. Além disso, a introdução à cosmologia de Barbara Ryden diz que o tempo que procuro é (eq. 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

O que acho que sugere que estou tentando a abordagem errada. Alguém pode me ajudar? Como posso encontrar a equação acima?

Answer 1

Essa integral tem uma solução de forma fechada, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Para um universo em recolhimento, isso dá a você apenas a metade da evolução em expansão, que termina quando o arco seno atinge seu valor máximo de $π/2$. A idade total é, portanto,$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.