Teorema bipolar

Question

Fiquei preso com o seguinte problema ao passar pela prova do Lemma$1.9$(i) do livro 'Lectures on von Neumann Algebras' de Strătilă e Zsidó.

Deixar$\mathscr{B}$ser um espaço Banach e$\mathscr{B}^*$ser o dual de$\mathscr{B}$. Deixar$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$seja um subespaço vetorial fechado por norma tal que$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(ou seja, isometricamente isomórfico) através da forma bilinear canônica em$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Considere o$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topologia ativada$\mathscr{B}$que é definida pela família de semi-normas$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, Onde$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$por$x\in \mathscr{B}$. Deixar$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$seja um$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-subespaço vetorial fechado.

Problema: Se$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, então prove que$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Os autores chamam$\mathscr{M}^{\circ}$o pólo de$\mathscr{M}$e então diz que a conclusão decorre do teorema bipolar. Mas não encontrei nenhuma referência para esse 'teorema bipolar'. Então, alguém poderia me ajudar com uma referência adequada para esse 'teorema bipolar' junto com a solução. Desde já, obrigado.

Answer 1

Deixar$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Nós temos$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$por definição de$\mathscr M^o$. Suponha que exista$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Como$\mathscr M$é convexo e$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-fechado, por Hahn-Banach existe$\varphi$, linear e$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-contínuo, com$\varphi(z)=1$e$\varphi|_{\mathscr M}=0$. o$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-funcionais contínuos no dual do espaço localmente compacto são precisamente aqueles no predual (ver, por exemplo, o Teorema V.1.3 em A Course in Functional Analysis de Conway ); então$\varphi\in\mathscr B_*$. Então$\varphi\in\mathscr M^o$; como$z\in\mathscr M^{oo}$, Nós teríamos$\varphi(z)=0$, uma contradição. então$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.