teoria do número de sequência geométrica

Question

Problema: Encontre o restante obtido na divisão

$$1 + 11 + 11^2 + 11^3 + . . . + 11^{2019}$$

em 1000.

Minha tentativa: deixe a soma ser $n$ e nós sabemos disso $n = \frac{11^{2020}-1}{10}.$Pelo teorema do resto chinês, podemos apenas encontrar a equação mod 125 e mod 8 e juntá-los mais tarde. Após alguns cálculos, descobrimos que$n \equiv 0 \pmod{8}.$ Quanto ao mod 125, entendi $10n \equiv 75 \pmod{125}.$No entanto, estou tendo problemas para lidar com o mod 125. Alguém pode ajudar? Obrigado!

Answer 1

Vamos considerar

$$10x\equiv 11^{2020}-1 \pmod {10000} \iff 10x-1\equiv 11^{2020} \pmod {10000}$$

e seguindo a dica dada nos comentários

$$11^{2020} = (10+1)^{2020} =\sum_{k=0}^{2020} \binom{2020}{k} 10^{2020-k}\equiv$$

$$\equiv \binom{2020}{2020} +\binom{2020}{2019} 10+\binom{2020}{2018} 10^{2}+\binom{2020}{2017} 10^{3}=9201 \pmod {10000}$$

Portanto

$$1 + 11 + 11^2 + 11^3 + . . . + 11^{2019}\equiv 920 \pmod{1000}$$

Answer 2

Você precisa adicionar mais um poder de $5$ para cuidar do fator de $5$no denominador. Portanto, use$\bmod 625$.

Desde a $\phi(625)=500$, você pode renderizar $11^{2020}\equiv11^{20}$. Desde a$11^5=161051\equiv1050+1$ e $1050$ é um múltiplo de $25$, o Teorema Binomial dá simplesmente

$11^{20}=(11^5)^4\equiv(4×1050)+1\equiv4201\equiv451\bmod 625.$

Então você tem $10x\equiv450\bmod 625$, e dividindo pelo fator comum de $5$ dá $2x\equiv90\bmod 125$, que pode ser resolvido para uma solução única.

Answer 3

Se você observar em todos os termos, o último dígito é $1$. Os dígitos anteriores variam de$0$ para $9$, há termos de 2020, então temos:

$S_1=2020 \times 1=2020$

A soma dos dígitos em cada período de 0 a 9 é:

$s_2=\frac{9(9+1)}{2}=45$

então a soma dos dígitos um antes é:

$S_2=(\frac{2020}{10}=202)\times 45=9090$

Portanto:

$1+11+11^2+11^3+ . . . +11^{2019}\equiv (9090\times 10+2020=(92920) \ mod (1000)\equiv 920 \ mod (1000)$