Teste de comparação para a série

Question

Quero testar se a série dada é convergente ou divergente.

$\Sigma_{n=2}\frac {(-i)^n}{\ln n} $, ($z_n = \frac {(-i)^n}{\ln n}$)

Eu sei disso para $n >1 $, $\ln n< n$detém. Então, usando o teste de comparação,$\Sigma_{n=2} \frac{1}{n} $ diverge então $\Sigma_{n=2}\frac {1}{\ln n} $diverge também. Mas e quanto$\Sigma_{n=2}\frac {(-i)^n}{\ln n} $? Devo verificar a divergência da série$z_n$, não para a série $|z_n|$ e eu fiquei confuso ...

ps Ao verificar a convergência da série, é bastante óbvio testar apenas para a série $|z_n|$caso porque convergência absoluta implica convergência. Mas e o caso de divergência?

Answer 1

Seu ps está errado. Existem séries como$\sum (-1/n)^n$ que convergem enquanto a série dos valores absolutos diverge.

Sua série é uma dessas. Na verdade, podemos escrever $$\sum _{n=2}^{\infty } \frac{(-i)^n}{\log (n)}=\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n}}{\log (2 n)}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n+1}}{\log (2 n+1)}$$ O primeiro pode ser reescrito como $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{ n}}{\log (2 n)}$$ que converge para o critério de Leibniz porque o termo geral tende a zero

A outra série pode ser escrita como $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n+1}}{\log (2 n+1)}=i\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{\log (2 n+1)}$$ que converge para o mesmo teste acima.